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文档简介

第4节一、函数的单调性二、函数的凹凸性函数的单调性与凹凸性

第3章一、函数的单调性若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,定义.

设函数在区间

I

上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、函数的凹凸性连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕例2.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例3.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸对应例4.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在

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