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第5节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、隐函数求导法则微分法则多元函数求导法则

第4章一、多元复合函数求导的链式法则定理1.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示f(x,

(x,y))固定y

对x

求导表示f(x,v)固定v

对x

求导口诀:与不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导例1.设解:例2.解:例3.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列这个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则全微分的形式不变性设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.例1.例5.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以二、隐函数求导法则定理2.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对x求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的例6.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:

令连续;由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在单值可且并求两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导定理3.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对x求偏导同样可得则例7.设解法1利用隐函数求导再对x

求导解法2

利用公式设则两边对x求偏导例8.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法2微分法.内容小结1.复合函数求导的链

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