浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷（含答案）

浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合A={0，1，2}，BA．{1} B．{-2，-C．{-2，-1，0，1，22．命题“∃x∈RA．∀x∈R，均有x2+3C．∃x∈R，有x2+33．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式成立的是（）A．a2>b2 B．1a<4．在R上定义运算⊗：a⊗b=abA．{x|0<xC．{x|x<-2或5．设函数y=f(x)的定义域为(0，+∞)A．32 B．2 C．94 6．若a，b∈R，记max{A．0 B．1 C．3 D．127．已知函数f(x)=x3A．2025 B．2017 C．-2029 D．-20238．已知函数fx=x2-2A．1，5 B．5，+C．0，5 D．-二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若x2>y2，则x>y C．若ac=bc，则a=b D．若2x+1=2y+1，则x=y10．已知关于x的不等式ax2+A．aB．aC．不等式bx+cD．不等式cx211．若函数f(x)=x2A．0 B．-1 C．-2 D．-12．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，A．y=f(B．y=f(C．fD．若f(0)=0，则(x三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知集合A={x∈Z14．已知函数f(x)=ax215．已知函数f(x)=kx2-416．已知幂函数f(x)=xm-3m∈N*的图象关于y轴对称，且四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合A=x|（1）若a=-1，求A∩B（2）若A∩B=18．（1）已知f(x+1)的定义域为[-（2）已知f(x-2)=219．（1）已知正数x，y满足xy=x+y（2）已知正数x，y满足x+20．已知定义在(-1，1)上的奇函数f（1）求函数f(（2）判断f(（3）解不等式f21．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本c(x)(万元)，当年产量不足80台时c(x)=12x2+40（1）求年利润y(万元)关于年产量x(台（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？22．已知函数f（1）解关于x的不等式f(（2）若对任意的x∈[1，4]，f（3）已知gx=mx+5-2m，当a=2时，若对任意的x1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为集合A={0，1，2}，B故答案为：D.

【分析】根据集合的交集运算直接求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题：故∃x∈R，x2+3故答案为：B.

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题直接判断即可.3．【答案】D【解析】【解答】A：a=0，b=−1，符合a>b，但不等式a2B：当a=0，b=−1符合已知条件，但零没有倒数，故1aC：当c=0时，a|c|>b|c|不成立，故本选项是错误的；D：因为c2+1>0，所以根据不等式的性质，由a>b能推出故答案为：D.【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.4．【答案】B【解析】【解答】解：根据在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，可得x⊗(x故答案为：B.

【分析】根据运算⊗的定义，可得x2+x-2<0，解不等式即可求得实数5．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数y=f(x)的定义域为(0，+∞)，满足f(xy)=f(x)+f(y)，所以令x=y=3，则f(9)=f(3)+f(3)，即2f(3)=6，可得f(3)=3；再令x=y=3，则f(3)=f(3故答案为：D.

【分析】根据题意给x，y赋值即可求得f(36．【答案】C【解析】【解答】解：f(x)=max{|3x|，−x2+4}=故当x=−1或x=1时，函数fx故答案为：C.

【分析】利用新定义将函数f(x)=max{|3x|，−x2+4}7．【答案】C【解析】【解答】解：令gx=x3+3x则fx=gx-3，因为f(-2023)=g(−2023)-3=2023，解得g-2023=2026，所以故答案为：C.

【分析】令gx8．【答案】A【解析】【解答】解：当x>1时，由基本不等式可得f(x)=x+16x−3a≥2x⋅16x−3a=8−3a，当且仅当x=16x，即x=4时等号成立，当x≤1时，函数f(x)=x2-2ax+2=x-a2+2-a2，开口向上，对称轴为x=a，因为函数f(x)故答案为：A.

【分析】当x>1时，利用基本不等式求出f(x)在(1，+∞)上的最小值，当x≤1时，分析可知函数f(x)在(−∞，1]上单调递减，从而可得关于实数9．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A选项，取x=1，y=−1，则x>y，但x2=y2，即“对于B选项，若x>10，则x>5，即“x>5”是“x>10”的必要条件；对于C选项，若a=b，则ac=bc，即“ac=bc”是“a=b”的必要条件；对于D选项，若x=y，则2x+1=2y+1，即“2x+1=2y+1”是“x=y”的必要条件.故答案为：BCD.

【分析】根据题意，利用必要条件的判定方法，结合选项，逐项判定，即可求解.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，所以−3，2则−3+2=−ba−3×2=caa<0，解得b=a，c=−6a，所以a+b+c=a+a−6a=−4a>0，故A、B正确；不等式bx+c>0等价于ax−6a>0，即x−6<0，解得x<6，故C错误；不等式cx2+bx+a<0故答案为：ABD.

【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得b=a，11．【答案】C,D【解析】【解答】解：因为f(x)在R上单调递减，所以−2+b2≥02b−1<0−1≥b−2，解得：b≤−2，所以b故答案为：CD.

【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可得不等式组求解即可得实数b的范围，从而判断b的可能取值.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因为定义在R上的函数f(x)，对∀x1，x2∈(−∞，2]，都有(x1−x2)[f(B、由A可知函数f(x)在(−∞，2]上单调递增，且关于直线x=2对称，所以函数y=f(x)在x∈(2，+∞)上单调递减，故B错误；C、因为函数y=f(x)在x∈(2，+∞)上单调递减，所以f(π)<f(D、f(0)=0，因为函数f(x)关于直线x=2对称，所以f(4)=0，结合函数的单调性和对称性可得，x∈(−∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，4)时，f(x)>0，x∈(4，故答案为：ACD.

【分析】利用函数的单调性可对称性即可判断A，B；根据函数的单调性比较函数值的大小可判断C；利用函数单调性以及函数值的符号即可求解判断D.13．【答案】3【解析】【解答】解：由集合A={x∈Z|1<x≤3}，可知A={2故答案为：3．

【分析】首先确定集合A中的元素，再由真子集的定义求解即可．14．【答案】4【解析】【解答】解：因为函数f(x)是[a−2，a]上的偶函数，所以a−2+a=0，解得a=1，所以f(x)=x2+(b−3)x+3，且f(x)=f(−x)，即x2+(b−3)x+3=故答案为：4.

【分析】根据偶函数的定义和性质求解即可.15．【答案】[4【解析】【解答】解：因为函数f(x)=kx2-4当k=0时，不满足题意；当k≠0时，要使kx2−4x+3≥0对∀x∈R恒成立，只需k>0Δ=16−12k≤0，解得k≥4故答案为：[4【分析】根据函数定义域的概念以及一元二次不等式恒成立问题求解即可得实数k的取值范围.16．【答案】(【解析】【解答】解：因为幂函数f(x)=xm−3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，+∞)上是减函数，所以m−3<0，则m=1或2，当m=2时f(x)=x−1奇函数，不满足题意；当m=1时，f(x)=x−2为偶函数且在(0，+∞)上是减函数，满足题意，故幂函数f(x)=x−2定义域为{x|x≠0}，在故答案为：(2

【分析】根据幂函数的性质确定m=1，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.17．【答案】（1）解：当a=-1时，集合A={x集合B={所以A∩A∪B={（2）解：因为A∩B=当B=ϕ时，则2a>a当B≠ϕ时，则a≤2a+2≤-1或a综上所述，a>2或a即实数a的取值范围是(-∞，-3]∪(2【解析】【分析】⑴把a=−1代入求得B={x|−2≤x≤1}，A={x|x≤−1或x≥5}，再根据集合的交集、并集运算求解即可；⑵由A∩B=B得到B⊆A，分B=ϕ和B≠ϕ讨论，列不等式求实数a的取值范围.18．【答案】（1）解：函数f(x+1)可得-2⩽x则-1⩽则f(1-2x)解得-3可得f(1-2x（2）解：令x-2=tt则ft=2t所以函数f(x)【解析】【分析】（1）根据抽象函数求定义域方法，代入计算即可；（2）令x−2=t(t≥−2)，根据换元法，即可求得函数f（x）19．【答案】（1）解：由xy=x+解得(xy解得xy≥3，xy≥9，当且仅当故xy的最小值为9，此时x（2）解：∵正数x，y满足所以x+(1+则2(=4所以1x当且仅当4x1+y因此，1x+4【解析】【分析】（1）利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解即可；（2）利用“1”的灵活运算结合基本不等式运算求解即可.20．【答案】（1）解：定义在(-1，1)上的奇函数f(x)=ax-又f(13)=3∴（2）解：当x∈(-1，1)证明如下：设∀xf(又由-1<x1<x2<1，则即f(x1（3）解：由(1)得f(x)=xx∵f(2t)+f∴f∴-1<2t<1∴不等式的解集为(0，【解析】【分析】（1）根据f(13（2）根据单调性定义判断证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可.21．【答案】（1）解：当0<xy=100当x≥80时，=1680-(x于是y（2）解：由(1)可知当0<xy=-此时当x=60时y取得最大值为1300(万元)当x≥80时，≤1680-2x当且仅当x=8100x即x=90时y取最大值为综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【解析】【分析】（1）根据题意分0<x<80和x≥80两种情况求年利润即可；（2）分0<x<80和x≥80两种情况分析求解，结合二次函数以及基本不等式求获利的最大值即可.22．【答案】（1）解：因为函数f(所以f(x)⩽4-2所以(x当a<2时，解得a当a=2时，解得x当a>2时，解得2⩽综上：当a<2时，不等式的解集为x当a=2时，不等式的解集为x当a>2时，不等式的解集为（2）解：因为对任意的x∈[1，4]所以对任意的x∈[1，4]当x=1时，0⩽4所以对任意的x∈(1，4]令t=x-1+4