广东省2023-2024学年高一上学期数学期中试卷（含答案）

广东省2023-2024学年高一上学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合M={−1，1，2}，A．{1} B．{−1C．{−1，0，2．若非零实数a，b满足|a|>|b|，则下列不等式中一定成立的是（）A．a−b>0 B．a2−b2>0 3．已知函数y=f(x)的定义域为[A．[−32C．[−3，74．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−13)=A．−53 B．−13 C．5．已知函数y=(2m−1)xm+n−2是幂函数，一次函数y=kx+b(k>0，b>0)A．3 B．92 C．1436．“a∈(−13，3]”是“函数A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防技工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间t（单位：小时）成正比(0<t<12)．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=(A．30分钟 B．60分钟 C．90分钟 D．120分钟8．已知函数f(x)=ex+A．(0，2) C．(0，3) 二、多选题9．下列说法正确的有（）A．“∃x0∈R，2x0B．若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，则实数mC．若a，b，c∈R，则“ab2>cD．“a>1”是“1a10．下列说法正确的有（）A．若f(x+1B．奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域都为R，则函数h(C．不等式kx2+2kx−k−2<0对∀x恒成立，则实数D．若∃x∈R，使得4x+mx2−2x+3≥211．已知x>0，y>0，且x+2y=1，下列结论中正确的是（）A．xy的最小值是18 B．2xC．1x+2y的最小值是9 12．函数y=f(x)A．函数y=f(x)的图像关于点PB．函数f(xC．函数y=f(x)的图像关于x=aD．函数g(x)三、填空题13．定义在R上的函数f(x)，当−1≤x≤1时，f(x)=x314．方程x2−(2−a)x+5+a=0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是15．已知函数f(x)=x2+2x+1+m，若f(f(x))≥0恒成立，则实数m16．若对任意x≥0，k1+x⩾1+x恒成立，则实数k四、解答题17．已知集合A={x|a−2≤x≤2+a}(a∈R)，B={x|1（1）当a=3时，求A∪B，A∩(∁（2）若A∪(∁RB)=R18．（1）计算：(21（2）已知a12+19．已知函数f(x)=3（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在R上的单调性（不必证明）；（3）解关于t的不等式f(t20．已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，对该种矿石加工时，有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石，在切割过程中的重量损耗忽略不计，但矿石的价值会损失.（1）把一块该种矿石切割成重量比为x：1的两块矿石时，价值损失率为37.5%，求（2）把一块该种矿石切割成两块矿石时，价值损失率最大值是多少？（注：价值损失率=原有价值−现有价值原有价值21．已知函数f(x)=x2−x（1）若∀x1∈[0，3]，∃（2）当a≠0时，解关于x的不等式af(x)>g(x).22．定义在R上的奇函数f(x)=x，−1<x<0，−a−x，x≤−1（1）当x≥0时，求函数f(x)的解析式；（2）若存在x2>x1≥0

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵N={x∈R|x2=x}={0故答案为：C.

【分析】本题考查集合的并集运算.解方程求得集合N={0，2．【答案】B【解析】【解答】解：B、因为|a|>|b|，所以|a|2>|b|2，即A、当a=−2，a−b=−1<0，A错误；C、a3D.1a故答案为：B.【分析】本题考查不等式的性质.根据题意|a|>|b|，由同向同正不等式可平方可得：|a|2>|b|2，即a23．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：−2≤2x+1≤3，解得：−3由x+1≠0，解得：x≠−1，故函数的定义域是[−3故答案为：B.

【分析】本题考查抽象函数的定义域.根据函数f(x)的定义域求出2x+14．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得f53=f1+23=f-23=-f23，5．【答案】B【解析】【解答】解：由y=(2m−1)xm+n−2是幂函数，可得2m−1=1，n−2=0，即m=1又由点(1，2)在一次函数y=kx+b的图像上，所以因为k>0，b>0，所以由基本不等式，得4k当且仅当k=2b时取等号，即当k=43，b=2故答案为：B.

【分析】本题考查幂函数的定义和利用基本不等式求最值.根据幂函数定义，求出点(m，n)，代入一次函数中，得到k+b=2，再利用基本不等式求6．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=x2−(a−1)x+2a−12≤13a+1>0又(−13，故“a∈(−13，3]”是“函数故答案为：A.

【分析】本题考查函数的单调性和充分必要条件的判断.先根据f(x)在R上的增函数可列出不等式组：a−12≤13a+1>03a−4≤4−a，进而求出a的取值范围：a∈(−17．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：y=kt又图象过点(12，1)，则所以y=f(t)=2t当t≥12时，令(1故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟时间进行教室消毒，故答案为：B.

【分析】本题考查函数模型的应用.先根据函数图象过点(12，1)，代入y=kt，可求出k；将点(12，1)代入8．【答案】B【解析】【解答】解：函数f(x)=ex+且f(−x)=e−x+当x>0时，f(x)=e构造y=ex+令t=ex>1，则y=t+1t则y=ex+又y=lgx是定义域内的增函数，故f(x)=e不等式f(x+1)>f(2x−1)等价于f(|x+1|)>f(|2x−1|)，即|x+1|>|2x−1|x+1≠02x−1≠0，平方得：x2+2x+1>4x则不等式f(x+1)>f(2x−1)的解集为(0，故答案为：B.

【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性.先根据且f(−x)=e−x+ex+lg|−x|=ex+e−x+lg|x|=f(x)，判断函数9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“∃x0∈R，2x0B、若命题“∃x∈R，x2则方程x2所以Δ=16−4m<0，解得m>4，所以实数m的取值范围是(4，C、当b=0时，ab2=cb2所以“ab2>cD、若a>1，则0<1故由a>1可以推出1a若当a=−1时，1a<1，则由1a所以“a>1”是“1a故答案为：ABD.

【分析】本题考查命题的否定，命题的真假，充分必要条件的判定.根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程x2+4x+m=0无解，则Δ<0，即可判断B；b=0时，ab2=cb2，则由a>c不能推出ab2>cb2，由此判断C选项；a>1，可得：0<110．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于选项A：令x+1=t，则x=t−1，故f(t)对于选项B：因为h(x)=f(x)对于选项C：当k=0时，−2<0，故对∀x恒成立；当k≠0时，kx2+2kx−k−2<0对解得：−1<k<0，综上可知−1<k≤0，故实数k的取值范围是(−1对于选项D：x2−2x+3=(x−1故只要m≥(2x2−8x+6)min，当x=2故答案为：BD.

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数的奇偶性，恒成立问题.令x+1=t，求出f(t)，即可判断A；利用函数的奇偶性可得：h(−x)=f(−x)g11．【答案】B,C【解析】【解答】解：由x>0，y>0，x+2y=1得x+2y≥22xy由于2x>0，4yx>0，y>0，(1x2故答案为：BC.

【分析】本题考查利用基本不等式求最值.由x+2y≥22xy，通过变形可得：xy≤18，由此判断A选项；

由2x+4y≥22x⋅4y12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，函数y=f(x)则有f函数y=f(x+a)即有f所以函数y=f(x)为y=f(对于B，f(x因为y=x3−3x为奇函数，结合A选项可知函数f对于C，函数y=f(x)的图像关于x=a即函数y=f(对于D，g(则g(则g(所以g(x)故答案为：ABD.

【分析】根据题意化简求得f(a+x)+f(a−x)=2b，得到函数y=f(x)的图像关于点P(a，b)成中心，进而判定A符合题意；由f(13．【答案】−1【解析】【解答】解：函数f(x+1)为偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)关于x=1对称，即f(1+x)=f(1−x)，所以f(3)=f(1+2)=f(1−2)=f(−1)=(−1)故答案为：−1.

【分析】本题考查函数的奇偶性.根据题意：函数f(x+1)为偶函数，可推出f(x)关于x=1对称，根据函数的对称性可得：f(1+x)=f(1−x)，将f(3)用上述式子变形可求出答案.14．【答案】(−∞【解析】【解答】∵方程x2令f(则f(解得a<−2.故答案为：(−∞，

【分析】根据已知条件令f(x)=x15．【答案】−3+【解析】【解答】解：由题知令t=f(x)=x要想f(f(x))≥0恒成立，只需∀t≥m，因为f(t)(1)m<−1时，当t∈(m，所以f(t)(2)m≥−1时，当t∈(所以f(解得m≤−3−5故m≥−3+综上：m的最小值是−3+5故答案为：−3+5

【分析】本题考查函数的单调性，函数的恒成立问题.对f(x)进行换元，注意新元范围，原题就转化为∀t≥m，f(t)min≥0，根据f16．【答案】[【解析】【解答】因为x≥0，所以1+x>0，所以不等式可化为k≥设μ=1+x1+x，x≥0，则μ>0因为x≥0，所以1+x⩾2x，当且仅当x=1所以μ2=1+2x1+x故答案为：[

【分析】根据题意转化为k≥1+x1+x恒成立，设μ=17．【答案】（1）解：当a=3时，A={x|1≤x≤5}，又因为B={x|−1<x<2}，所以∁RB={x≤−1或x≥2}，所以A∪B={x|−1<x≤5}，（2）解：因为A∪(∁RB)=R，集合A={x|a−2≤x≤a+2}，∁所以a−2≤−1，2+a≥2，解得0≤a≤1．所以实数a【解析】【分析】本题考查集合的交集，并集，补集运算和集合的包含关系.（1）先求出集合B={x|−1<x<2}，再根据集合交并补运算求解即可；（2）由（1）可知：∁RB={x≤−1或x≥2}，再由题意A∪(∁18．【答案】（1）原式=(（2）因为a12+a−12=3，则a+a−1+2=9，即a+a−1=7【解析】【分析】(1)根据指数幂运算求解；

(2)根据a12+a−19．【答案】（1）解：因为f(x)定义在R上的奇函数，可得∀x∈R，都有f(−x)=−f(x)，令x=0，可得f(0)=30−a所以f(x)=3x−1所以函数f(x)是奇函数，所以a=1；（2）解：f(x)在R上单调递增；理由如下：因为f(x)=3函数y=3x+1单调递增，函数y=1−所以f(x)=1−23x（3）解：因为f(x)为奇函数，可得f(t又f(x)在R上单调递增，所以t2解得−1所以原不等式的解集为{t|−1【解析】【分析】(1)根据f(x)是R上的奇函数可得出f(0)=0，求出a的值；

(2)分离常数可看出f(x)是R上的增函数，根据增函数的定义证明即可；

(3)根据f(x)的单调性和奇偶性可得t220．【答案】（1）解：由题知，不妨设稀有矿石的价值为ω，其重量为m，ω=km由题知，两块矿石的重量为mxx+1和因为价值损失率为37.5%，即km即2x(x+1)2=（2）解：由(1)知ω=km2，(m>0)根据公式价值损失率=k(当且仅当p=q时价值损失率取得最大值，最大值为50%【解析】【分析】本题考查函数模型的应用.(1)根据题意设出稀有矿石的价值与其重量的函数解析式，根据公式，列出关于价值损失率的等km2−k(2)不妨设切割成两块矿石时，一块重量为p，一块重量为q，根据公式列出等式k(21．【答案】（1）解：f(x)=x2−x为二次函数，在[0，12)由于g(x)=2x−2在[0，3]上是增函数，所以∀x∈[0，由于∀x1∈[0，3]所以f(x1)max所以实数m的取值范围为(−∞，（2）解：当a≠0时，由af(x)>g(x)可得：ax2−(a+2)x+2>0令(x−1)(ax−2)=0，则x=1或x=2讨论如下：①当a<0时，2a<1，原不等式的解集为②当0<a<2时，2a>1，原不等式的解集为③当a=2时，原不等式的解集为(−∞，④当a>2时，0<2a<1综上所述，当a<0时，解集为(2a，1)；当当a=2时，解集为(−∞，1)∪(1，+∞)；当【解析】【分析】本题考查函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法.（1）∀x1∈[0，3]，∃x2（2）不等式等价于(x−1)(ax−2)>0，讨论a的正负以及对应方程两根的大小，求出解集.22．【答案】（1）解：∵f(1)=e，∴f(−1)=−a=−e，则a=e.当0<x<1时，−1<−x<0又f(x