第一集：复合、抽象和对勾函数-1

第一集:复合、抽象和对勾函数1、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。2、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值。要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：3、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数.4、求解复合函数零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围5、抽象函数若，则具有周期性；若，则具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”。结论1、图象关于直线对称推论1、的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称结论2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称6、对勾函数：对勾函数的定义域、值域等性质定义域对勾函数的单调性对于函数yXOy=axyXOy=ax轴和对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数典型例题例1：已知函数fx=2x−2−1,x≥0 A.2 B.23 C.1+3 解：当gx≥0时，即解得x≤0或x≥2，当gx<0时，即解得0<x<2，所以当x≤0或x≥2时，fg即x2解得x=1+3或x=1−当0<x<2时，fg所以函数fgx的所有零点之和是例2：当x∈−∞,1时，不等式1+2x+ A.−∞,−34 B.−34,+∞ 解：解法一：因为a2所以不等式1+2x+由1+2x+而函数y=1所以当x∈−∞,1时，y所以−a<34，即解法二：因为a2−a+1=a−122+所以不等式1+2x+4x①当a≥0时，at2+t+1>0②当a<0时，令ft=at2+t+1解得−3综上可得实数a的取值范围为a>−3例3：形如y=b|x|−cc>0,b>0的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数fx=logax2+x+1a>0,a≠1有最小值，则当c， A.1 B.2 C.4 D.6解：令u=x2+x+1，则fx=因为u=x+122+所以a>1；x2所以c=b=1，这时“囧函数”为y=1|x|−1，它与函数y=log例4：在fm,n中，m，n，fm,n∈N∗，且对任意m，n，都有f①f1,5②f5,1③f5,6其中正确结论的个数是  A.3 B.2 C.1D.0解：因为fm,n+1所以fm,n组成首项为fm,1，公差为所以fm,n又f1,1所以f1,5因为fm+1,1所以fm,1组成首项为f1,1，公比为所以fm,1所以f5,1所以f5,6所以①②③都正确，故选A．例5：已知定义在R上的函数fx满足ffx=xf A.0 B.1 C.2 D.4解：因为ffx=xfx+1所以ffx0把x=0代入ffx=xfx+1代入ffx=xf即f1=1×1+1=2，与所以函数fx无零点，方程fx=0例6：已知奇函数y=fx的导函数fʹx<0在R恒成立，且x，y满足不等式fxA.0,2B.0,22C.1,2解：因为函数y=fx为奇函数，所以f由函数y=fx的导函数fʹx<0知函数y=fx为减函数，所以x即x−12故x2+y2的最小值为例7：如果函数fx=axax−3aA.0,23B.33,1 C.解：令t=ax，则y=t①当0<a<1时，则0<ax≤1，欲使x∈即3a2+1≥2所以a≥33或②当a>1时，则ax≥1．欲使只需3a2+12≤1综上a的取值范围是33例8：已知x，y满足2≤y≤4−x，x≥1，则x2+ A.23 B.53 C.83解：不等式组2≤y≤4−x,x≥1表示的平面区域是以点1,2，1,3，2,2x2令y−1x+1=t，则t表示区域内的点与点故t∈13,1因为1t所以函数y=1t+t所以当t=13时，x2例9：若函数fx=logax+ax−4（其中a>0且解：若fx的值域为R，则x+axx+因为当x>0时，x+即x>0时，x+ax的最小值为2结合a>0,a≠1，解得0<a<1 例10：若对满足条件x+y+8=xy的正实数x，y都有x+y2−ax+y+1≥0恒成立，则实数解：由x+y+8=xy，和x+y≥2xy可得x+y24≥令t=x+y，t≥8，由x+y2可得a≤t+1t恒成立，即令ft=t+1所以ftmin=f例11：对于函数fx与gx，若存在λ∈x∈Rfx=0，μ∈x∈R⋮gx=0，使得λ−μ解：易知函数fx为增函数，且f所以函数fx=e则取λ=2，由∣2−μ∣≤1，知1≤μ≤3．由fx与gx互为“零点密切函数”知函数gx即方程x2−ax−x+4=0在所以a=x+4x−1，而函数a=x+4x所以当x=2时，a取最小值3，且当x=1时，a=4，当x=3时，a=10所以amax所以实数a的取值范围是3,4．例12：已知函数fx=x+1x，gx=f2x−afx+2a有四个不同的零点解：因为令t=fx，则y=g因为gx=f2x−afx+2a有四个不同的零点故t2−at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t不妨令fx1=f2−f例13：设函数fx的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈MM⊆D，有x+l∈D，且fx+l≥fx，则称fx为M上的l高调函数．如果定义域为−1,+∞的函数fx=x解：fx要使得f−1+m≥f−1=1，有恒有fx+2≥fx，故m≥2即可，即m例14．已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9解：分析把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.解析：∴∴令，，则，∴令，解得∴时，，单调递减；时，，单调递增；∴，，∴a﹣3∴.设关于t的一元二次方程有两实根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，当且仅当时等号成立，由于，∴，（不妨设）.∵，可得，，.则可知，.∴.故选：A.小结:本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题.例15．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．解：分析画出函数的图象，使用换元法，令，并构造函数，通过的范围，可得结果.解析：当时，，则令，则令，则所以函数在递增，在递减，则，且当时，函数图象如图，关于的方程有四个不等实根令，则①，所以②，由则函数一个根在，另外一个根在中所以综上所述：故选：A小结：本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.例16：若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为___________解：分析通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.解析：由得：，设，则，，令，则，在上单调递增，在上单调递减，且，，当时，，可得大致图像如下.要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且.结合图象可得关于的方程一定有两个不等的实数根，且，，，则，..故答案为：.小结：已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解例17：已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．解：分析设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.解析:设，其中，则，设.①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，当时，，对于函数，该函数的对称轴为直线，函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，不合乎题意；②当时，令，可得，列表如下：极小值所以，.（i）当时，即当时，，则，不合乎题意；（ii）当时，即当时，则，此时，即.对于函数，，所以，当时，，，则对任意的恒成立.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.小结：结论小结：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.例18：设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．解：分析利用函数的单调性可得（为常数），再利用求出，而对恒成立即为对任意的恒成立，构建新函数，利用导数可求实数的取值范围.解析：因为在