北师大高中数学必修第二册2.4.1平面向量基本定理-同步练习【含答案】

北师大高中数学必修第二册2.4.1平面向量基本定理-同步练习一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各组向量中，能作为基底的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，1)B．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)C．e1＝(－3，4)，e2＝(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))D．e2＝(2，6)，e2＝(－1，－3)2．已知A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量为()A．(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))或(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))B．(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))或(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))C．(－eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))或(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))D．(－eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))或(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))3．若向量eq\o(OF,\s\up6(→))1＝(1，1)，eq\o(OF,\s\up6(→))2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝()A．eq\r(10)B．2eq\r(5)C．eq\r(5)D．eq\r(15)4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝()A．eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))5．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b6．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→)).若eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，则实数λ＋μ的值为()A．－eq\f(1,5)B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．eq\f(7,5)7．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的条件是()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝18．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－eq\f(3,5))C．(－1，－eq\f(4,7))D．(－1，－eq\f(3,5))二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列结论中正确的是()A．0＋0＝0B．对任一向量a，0∥aC．对于任意向量a，b，a＋b＝b＋aD．对于任意向量a，b，|a＋b|>010．下列四个式子中一定能化简为eq\o(AD,\s\up6(→))的是()A．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))B．(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))C．(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(BM,\s\up6(→))D．(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))11．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝()A．eq\r(5)B．eq\f(\r(5),5)C．－eq\r(5)D．－eq\f(\r(5),5)12．下列结论正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上B．已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，－1)，P2(－1，3)，且P1P＝eq\f(2,3)PP2，则点P的坐标为(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))C．向量eq\o(PA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则x＋y＝1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则t＝________．14．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________．16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))的模为________；|eq\o(AC,\s\up6(→))|的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标．18．(12分)如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上．19.(12分)已知点A(－1，2)，B(2，8)以及eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求点C，D的坐标和eq\o(CD,\s\up6(→))的坐标．20．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐标．21.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c.(1)求3a＋b－3c的值；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N(点N靠近点B)，求eq\o(MN,\s\up6(→)).22．(12分)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值．参考答案与解析1．答案：B解析：A，C，D中向量e1与e2共线，不能作为基底；B中e1，e2不共线，所以可作为一组基底．2．答案：B解析：因为A(1，3)，B(4，－1)，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，所以与向量eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量为(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))或(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5)).3．答案：C解析：F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，|F1＋F2|＝eq\r(（－2）2＋（－1）2)＝eq\r(5).4．答案：D解析：因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).5．答案：B解析：∵AD为边BC上的中线，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，又BE为边AC上的中线，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝b，∴a＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，b＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.6．答案：B解析：由题意，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则在平行四边形ABCD中，因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且CF＝2DF，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋b，又因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，所以－a＋b＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝λ(a＋eq\f(1,2)b)＋μ(eq\f(1,3)a＋b)＝(λ＋eq\f(1,3)μ)a＋(eq\f(1,2)λ＋μ)b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,3)μ＝－1,\f(1,2)λ＋μ＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(8,5),μ＝\f(9,5)))，所以λ＋μ＝eq\f(1,5).7．答案：D解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝tμ，))所以λμ＝1.8．答案：C解析：方法一设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5λ＋5，,y＝7λ＋4.))因为点P在第四象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5λ＋5>0，,7λ＋4<0，))解得－1<λ<－eq\f(4,7).故所求实数λ的取值范围是(－1，－eq\f(4,7)).方法二eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P(5＋5λ，4＋7λ).因为点P在第四象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋5λ>0，,4＋7λ<0，))解得－1<λ<－eq\f(4,7).9．答案：BC解析：0＋0＝0，A不正确；根据0的规定，B正确；根据向量加法交换律，C正确；a＝－b时，|a＋b|＝0，D不正确．10．答案：ABD解析：对于A，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；对于B，(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))；对于C，(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；对于D，(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故选ABD.11．答案：BD解析：a2＝5，b2＝25，且a＋kb与a－kb垂直，∴(a＋kb)(a－kb)＝a2－k2b2＝5－25k2＝0，解得k＝±eq\f(\r(5),5).故选BD.12．答案：BCD解析：对于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误；对于B，设P(x，y)，由P1P＝eq\f(2,3)PP2，得(x－2，y＋1)＝eq\f(2,3)(－1－x，3－y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝\f(2,3)（－1－x），,y＋1＝\f(2,3)（3－y），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(3,5)．))B正确；对于C，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k).因为A，B，C三点共线，所以eq\o(BA,\s\up6(→))∥eq\o(CA,\s\up6(→))，所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11，C正确；对于D，∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1，D正确．13．答案：3解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，∴eq\r(12＋（t－3）2)＝1，∴t＝3.14．答案：－4解析：以a，b的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图，则a＝(2，2)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3).∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，即(－1，－3)＝λ(2，2)＋μ(6，2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋6μ＝－1，,2λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝eq\f(－2,\f(1,2))＝－4.15．答案：eq\f(6,5)eq\f(2,5)解析：以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，则D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1).eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)．))16．答案：2(0，4)解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，又|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.又因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，且在菱形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，所以||eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AD,\s\up6(→))||<|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|<|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|，即0<|eq\o(AC,\s\up6(→))|<4.17．解析：(1)证明：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，2)－(2，1)＝(1，1)，|AB|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)；eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，4)－(3，2)＝(－4，2)，|BD|＝eq\r(（－4）2＋22)＝eq\r(20)；eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，4)－(2，1)＝(－3，3)，|AD|＝eq\r(（－3）2＋32)＝eq\r(18).由于AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.(2)设矩形ABCD的顶点C(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即(1，1)＝(x＋1，y－4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5，))即点C的坐标为(0，5).18．证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝m，eq\o(AD,\s\up6(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))，∴eq\o(FO,\s\up6(→))∥eq\o(OE,\s\up6(→))，又O为eq\o(FO,\s\up6(→))和eq\o(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上．19．解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，6)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6).因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0，))所以点C，