专题28动点综合问题（共16道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练

专题28动点综合问题(16道)一、单选题1．(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动(不与点A，C重合)，过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，，，，，，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为．轴，N的横坐标为x，(1)当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，，，，该段图象为开口向上的抛物线；(2)当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，，该段图象为直线；(3)当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，由，可得直线的解析式为，，，，，该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件，故选A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式．2．(2023·江苏·统考中考真题)折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v()随时间t()变化的图像可能是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，故他的速度大小v()随时间t()变化的图像可能是D．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．3．(2023·江苏南通·统考中考真题)如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为(

)

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．【详解】解：当时，由题意可知，，在中，由勾股定理得，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，当时，由题意可知，，设，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．

故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．4．(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论．【详解】解：当在点左侧，即：时：①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：

设分别交于点，∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，∴，∵在矩形中，，，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，图象为开口向下的一段抛物线；②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：

由①可知：，∴，图象是一段开口向上的抛物线；当过点时，即时，重合，此时，；综上：满足题意的只有B选项，故选B．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．(2023·辽宁锦州·统考中考真题)如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分，，三种情况，分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D作于H，，∵，，∴，∴当时，如图，重叠部分为，此时，，，∴，∴，即，∴∴；当时，如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；当时如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，∵，∴，∴，即∴，综上，，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．6．(2023·辽宁·统考中考真题)如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：∵，，∴是边长为6的正三角形，∵平分，∴，，，①当矩形全部在之中，即由图1到图2，此时，

∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴；②如图3时，当，则，解得，由图2到图3，此时，

如图4，记，的交点为，则是正三角形，∴，∴，而，∴，∴，③如图6时，，由图3到图6，此时，

如图5，同理是正三角形，∴，，，∴，因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．(2023·黑龙江大庆·统考中考真题)如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象(点为图象的最高点)，则平行四边形的面积为(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，则可得，，从而得到，根据的最大值为3，求出的值，从而得到，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，

，，，，，，由图象可得的最大值为3，，解得：或(舍去)，，，平行四边形的面积为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．8．(2023·辽宁·统考中考真题)如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是()

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先证明菱形是边长为x，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．【详解】解：作于点D，作于点E，

由题意得，，∴，∴，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，，∴，，当点M运动到直线上时，

此时，是等边三角形，∴，；当点Q、N运动到与点重合时，

∴，；当点P运动到与点重合时，∴，；∴当时，，当时，如图，作于点G，交于点R，

则，，，∴，当时，如图，作于点I，

则，，∴，综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是()

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．(2023·广东深圳·统考中考真题)如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t(单位：s)的关系如图2，则的长为(

)

A． B． C．17 D．【答案】C【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，∴，∴点从点运动到点所需的时间为；∴点从点运动到点的时间为，∴；在中：；故选C．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键．11．(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，当时，在上，

菱形中，，，∴，则是等边三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴当时，在上，

∴，综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：，，，，故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．13．(2023·河南·统考中考真题)如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为(

)A．6 B．3 C． D．【答案】A【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，∴，，又∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，∴，即，∴，过点作，∴，则，∴，

即：等边三角形的边长为6，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二、解答题14．(2023·四川绵阳·统考中考真题)如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t(s)，△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2)．(1)在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；(3)当y取最大值时，求sin∠NEF的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】试题分析：(1)由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=AN=(8﹣t)，由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；(2)分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出；②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由(1)得：NF=(8﹣t)，GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=(8﹣t)，由三角形面积得出(2＜t≤4)；(3)当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB==，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF的长，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．试题解析：解：(1)能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：连接ME交NF于O，如图1所示：∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，FN∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴=2，∴NF=AN=(8﹣t)，由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四边形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×(8﹣t)，解得：t=；即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；(2)分两种情况：①当0＜t≤2时，y=×(8﹣t)×t=，即(0＜t≤2)；②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，由(1)得：NF=(8﹣t)，GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=(8﹣t)，∴y=NF′GH=×(8﹣t)×(8﹣t)=，即(2＜t≤4)；综上所述：．(3)当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示：则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2(4﹣t)，解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，则EB===，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF=NF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF===．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．15．(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为()()，四边形的面积为()

(1)的长为