北师大版必修一课后作业第四章函数应用11

1．1利用函数性质判定方程解的存在学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数．知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．梳理概念：函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标．方程、函数、图像之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f(eq\f(1,10))＝lgeq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝－1＋eq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)，f(1)＝lg1＋1＝1.那么能判断f(x)＝lgx＋x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))内有零点吗？答案能．因为f(x)＝lgx＋x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))内是连续的，函数值从－eq\f(9,10)变化到1，势必在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))内某点处的函数值为0.梳理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．类型一求函数的零点例1函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为________．答案x＝1或x＝10解析由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．答案4解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)答案C解析令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．反思与感悟在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．跟踪训练2若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案2解析∵函数f(x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx在区间(n，n＋1)上只有一个零点．∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.类型三函数零点个数问题eq\x(命题角度1判断函数零点个数)例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．故函数f(x)有且只有一个零点．方法二在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图像知g(x)＝lg(x＋1)的图像和h(x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的个数．解方法一由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．方法二通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图像，观察两图像的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图像交点的个数．由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．eq\x(命题角度2根据零点情况求参数范围)例4f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)答案D解析由题意可得a＝x－(eq\f(1,2))x(x＞0)．令g(x)＝x－(eq\f(1,2))x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．跟踪训练4若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1－eq\r(2)]∪[1＋eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，1－eq\r(2))∪(1＋eq\r(2)，＋∞)C．[－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2)]D．(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))答案D解析函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图像列出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝2＞0，,f0＝2m＋1＜0，,f1＝4m＋2＜0，,f2＝6m＋5＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))∴－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)，∴实数m的取值范围是(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))．1．函数y＝x的零点是()A．(0,0)B．x＝0C．x＝1D．不存在答案B2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案C3．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C4．下列各图像表示的函数中没有零点的是()答案D5．函数f(x)＝x3－(eq\f(1,2))x的零点有()A．0个 B．1个C．2个 D．无数个答案B1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．课时作业一、选择题1．下列图像表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图像是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.3．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)答案C解析由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．4．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点 B．一定没有零点C．可能有两个零点 D．至少有一个零点答案C解析若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A、D错，若如图(3)所示，可知B错．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0答案B解析方法一由f(x)＝0得2x＋eq\f(1,1－x)＝0，∴2x＝eq\f(1,x－1).在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝eq\f(1,x－1)的图像(图略)，观察图像可知，当x1∈(1，x0)时，y1<y2；当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.方法二∵函数y＝2x，y＝eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0得f(x1)<f(x0)＝0，由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0得f(x2)>f(x0)＝0.6．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断答案B解析f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.二、填空题7．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．答案(－12,0)解析根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图．由图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＞0，,f0＜0，,f1＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋10＋a＞0，,a＜0，,3－5＋a＜0，,27－15＋a＞0，))解得－12＜a＜0.9．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－4，x≤0，,lgx，x＞0))的零点是________．答案－2,1解析当x≤0时，令