安徽省淮南市第二中学2023-2024学年高二下学期期中教学检测数学试题

淮南二中2025届高二第二学期期中教学检测数学试题考试时间:120分钟，试题满分:150分注意事项：1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号(智学号)；2.在答题卷上答题时，选择题必须用2B铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用0.5mm黑色墨水签字笔在指定区域作答，超出规定区域作答无效；3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（）种取法.A.8 B.7 C.12 D.5【答案】A【解析】【分析】由分类加法计数原理计算．【详解】任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，由此可得取法为．故选：A．2.已知函数图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象，得到函数的单调区间，根据导数的正负与函数的单调性的关系，得到导数的正负区间，然后做出选择即可.【详解】由的图象及导数的几何意义可知，当时，为减函数，故，排除A、C；当时，先增再减后增，故先正再负后正，排除B.故选：D.3.的展开式中含项的二项式系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解.【详解】的展开式的通项为：，令可得，所以含项的二项式系数为，故选：D.4.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种 B.90种 C.72种 D.36种【答案】A【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.故选：A5.已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】令，可求出，再写出的通项，再考虑展开式中的每一项与中的哪项之积为常数即可.【详解】令，则，所以．在中，的展开式的通项，所以的展开式中的常数项为．故选：A【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．6.若函数不存在极值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意函数不存在极值，则在上恒成立，从而可解.【详解】函数，则，因为函数不存在极值，则在上恒成立，则，得.故选：A7.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.【详解】，令，则，所以当时，函数单调递增，，即，即，从而可知.故选：B.8.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；，故D错误．

故选：BC10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B.C.第2020行的第1010个数最大D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为【答案】ABD【解析】【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D.【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为；而第行第个数字就是，故A正确；对于B：因为，，所以，故B正确；对于C：由图可知：第行有个数字，如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第行的第个数最大，故C错误；对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为，所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确；故答案为：ABD.11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.在上单调递减B.恰有一个极大值C.当时，有三个零点D.当时，有三个实数解【答案】ABD【解析】【分析】根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时需注意函数值的变化趋势.【详解】A：当时，，则，所以函数在上单调递减，故A正确；B：当时，，则，所以函数在上单调递增；当时，，则，所以函数在上单调递增；结合选项A的分析，知是函数极大值点，是函数的极小值点，故B正确；C：当时，，，当时，，所以当时，方程无实根，即函数无零点，故C错误；D：当时，，由以上讨论，知当时，，而，如图，由图可知，方程有3个实根，所以有3个实根，故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为___________.【答案】【解析】【分析】先由题意可得，求出，即可求得二项式系数最大的项.【详解】由题意得，得，所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，所以，故答案为：.13.某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．【答案】60【解析】【分析】分两种情况分类计算，一种是A基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.【详解】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总排法是种；则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.故答案为：60.14.已知函数，若存在区间，当时，的值域为，且，其中表示不超过的最大整数，则的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】首先将题意转化为有两个实数根，再利用参变分离，转化为，通过构造函数，利用数形结合转化为函数图象的交点问题，利用临界分析，即可求解.【详解】由题意可知，有两个实数根，即，设，即与有2个交点，并且满足，，，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，并且，当时，，如图，画出函数图象，因为，当时，，则，不满足，当，，则，不满足，当，此时，满足，，，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.（Ⅰ）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）；（Ⅱ）至多有3名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）．【答案】（Ⅰ）70种；（Ⅱ）186种【解析】【分析】（Ⅰ）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，结合组合数即可求出结果；（Ⅱ）至多有3男当选时，根据分类计数原理应分三类：第一类是3男2女；第二类是2男3女；第三类是1男4女，然后利用分步计数原理求解即可.【详解】（Ⅰ）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法；（Ⅱ）至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有种选法；第二类是2男3女，有种选法；第三类是1男4女，有种选法，由分类加法计数原理知：共有种选法．16.（1）计算：；(请用数字作答)（2）解关于正整数n的方程：【答案】（1）448；（2）【解析】【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果；（2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得.【详解】（1）原式；（2）由化简得展开得，因，故可化简得：，解得或(舍)，故方程的正整数解为.17.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.【答案】（1）；（2）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润为万元.【解析】【分析】（1）根据题中条件，分和两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（2）根据（1）中解析式，分别求出和两种情况下，的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，由题意可得，当时，；当时，；所以；（2）由（1）可得，当，，当且仅当时，等号成立；当时，，则，所以，当时，，即函数单调递增；当时，，即函数单调递减；所以当时，取得最大值；综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性，（2）由（1）可得，即可将问题转化为，构造函数，求导确定函数单调性，即可利用最值求解.【小问1详解】的定义域为，当时，在上恒成立，所以在上单调递减，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】证明：由（1）知，当时，.要证明成立，只要证明，即证.令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时，.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；（2）已知函数，其中．①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证；（2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证；②根据题意，转化为时，在恒成立，设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.【小问1详解】解：在曲线取一点．过点作的切线分别交于，因为，可得，即．【小问2详解】解：①由函数，可得，不妨设，曲线在处的切线方程为，即同理曲线在处的切线方程为，假设与重合，则，代入化简可得，两式消去，可得，整理得，由（1）的结论知，与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．②当时，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下证：当时，恒成立．因为，所以