北师大版必修一课后作业第二章　函数22（一）

2.2函数的表示法(一)学习目标1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．知识点一解析法思考一次函数如何表示？答案y＝kx＋b(k≠0)．梳理一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．知识点二图像法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？答案一张二寸照片．梳理用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？答案对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．梳理用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．函数三种表示法的优缺点：类型一解析式的求法例1根据下列条件，求f(x)的解析式．(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,ab＋b＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2)，,b＝1＋\r(2).))∴所求函数解析式为f(x)＝eq\r(2)x＋1－eq\r(2)或f(x)＝－eq\r(2)x＋1＋eq\r(2).(2)f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)；解∵f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2，∴f(x)＝x2－2.又x≠0，∴x＋eq\f(1,x)≥2或x＋eq\f(1,x)≤－2，∴f(x)中的x与f(x＋eq\f(1,x))中的x＋eq\f(1,x)取值范围相同，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.解∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.反思与感悟(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．(3)如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．跟踪训练1根据下列条件，求f(x)的解析式．(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,3a＋2b＝9，))∴a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；解设x＋1＝t，则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.(3)2f(eq\f(1,x))＋f(x)＝x(x≠0)．解∵f(x)＋2f(eq\f(1,x))＝x，将原式中的x与eq\f(1,x)互换，得f(eq\f(1,x))＋2f(x)＝eq\f(1,x).于是得关于f(x)的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\f(1,x)＝x，,f\f(1,x)＋2fx＝\f(1,x)，))解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．类型二图像的画法及应用eq\x(命题角度1画函数图像)例2试画出函数y＝eq\r(1－x2)的图像．解由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.x＝±eq\f(1,2)时，y＝eq\f(\r(3),2).利用以上五点描点连线，即得函数y＝eq\r(1－x2)的图像如下：反思与感悟描点法作函数图像的三个关注点(1)画出函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图．(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．跟踪训练2作出下列函数的图像并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．解(1)列表：x0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)2y12345当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝eq\f(2,x)的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．(3)列表：x－2－1012y0－1038图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．eq\x(命题角度2函数图像的应用)例3已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．反思与感悟函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．跟踪训练3函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图像如图，f(x)与直线y＝m图像有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.类型三列表法及函数表示法的选择例4下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.测试序号成绩姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．解(1)不能用解析法表示，用图像法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图像如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练4若函数f(x)如下表所示：x0123f(x)3210则f(f(1))＝________.答案1解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x1234f(x)3241A.1B．2C．3D．4答案A2．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1答案D3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为()A．y＝eq\f(\r(2),2)x B．y＝eq\f(\r(2),4)xC．y＝eq\f(\r(2),8)x D．y＝eq\f(\r(2),16)x答案A4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是()答案C5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值，最小值．解y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的图像如下：由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，∴当x＝1时，y有最小值－5.1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．3．如何用函数图像常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．课时作业一、选择题1．一次函数f(x)的图像过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图像上的是()A．(2,1) B．(－1,1)C．(1,2) D．(3,2)答案C解析设一次函数的解析式为y＝kx＋b，又图像过点A(－1,0)，B(2,3)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,2k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1.))故y＝x＋1.结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.2．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为()A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)C．y＝eq\f(50,x)(x>0) D．y＝eq\f(100,x)(x>0)答案C解析由eq\f(x＋3x,2)·y＝100，得2xy＝100.∴y＝eq\f(50,x)(x>0)．3．如果f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于()A.eq\f(1,x)B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x)D.eq\f(1,x)－1答案B解析令eq\f(1,x)＝t，则x＝eq\f(1,t)，代入f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，则有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故选B.4.函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为()A．f(x)＝(x－a)2(b－x)B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)D．f(x)＝(x－a)2(x－b)答案A解析由图像知，当x＝b时，f(x)＝0，故排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，故排除D.故选A.5．函数y＝eq\f(x,1＋x)的大致图像是()答案A解析y＝eq\f(x,1＋x)定义域为{x|x≠－1}，排除C、D，当x＝0时，y＝0，排除B.6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4答案B解析设t＝3x＋2，则x＝eq\f(t－2,3)，所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.二、填空题7．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)，则f(eq\f(1,2))的值为______．答案15解析令1－2x＝eq\f(1,2)，则x＝eq\f(1,4)，∴f(eq\f(1,2))＝eq\f(1－\f(1,4)2,\f(1,4)2)＝15.8．若正比例函数y＝(m－1)xm2－3的图像经过二、四象限，则m＝________答案－2解析因为y＝(m－1)xm2－3是正比例函数，所以有m2－3＝1，m＝±2.又图像经过二、四象限，所以m＝－2.9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.x1234f(x)1313g(x)3232答案2或4解析x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.10．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝________.答案2解析由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.因此，有f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.三、解答题11．求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；(2)已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2.由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋a＋b＝x－1，得a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2).故所求函数的解析式为f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.(2)由3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，①x用－x代换得3f(－x)＋2f(x)＝－x＋3，②解①②得f(x)＝x＋eq\f(3,5).12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(eq\f(1,\r(x＋1)))的解析式及其定义域．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝12－b＋c＝0，,f2＝22－2b＋c＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝5.))∴f(x)＝x2－6x＋5.(2)f(eq\f(1,\r(x＋1)))＝(eq\f(1,\r(x＋1