2023年《直线及其方程课时5》教学设计

高中数学精编资源3/3《直线及其方程》教学设计课时5两条直线的相交、平行与重合必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】1.掌握确定直线位置的几何要素2.掌握直线方程的五种形式3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离【考查题型】填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析“直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.两条直线的位置关系4.点到直线的距离直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方向向量与法向量3.直线的点斜式方程与斜截式方程4.直线的两点式方程与一般式方程5.两条直线的相交、平行与重合6.两条直线的垂直7.点到直线的距离公式【教学目标设计】1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识.2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构.3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.【教学策略设计】高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性.通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.难点体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:从初中平面几何中我们就已经知道,两条不重合的直线与:如果它们没有公共点,那么与平行;否则,与相交,而且有唯一的交点.在平面直角坐标系中,直线可以用直线的方程来表示,那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢?这就是下面我们要讨论的问题.【设计意图】通过对初中平面几何两直线位置关系的复习,开门见山,提出直角坐标系下判断直线位置关系的问题教学精讲【教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表,并讨论直线上的点与对应方程的解有怎样的关系】几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是师:已知直线,直线,判断与之间的关系,如果相交,求出交点坐标,如果不相交,说明理由.生:因为平面直角坐标系中,一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了判断与之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可.又因为解方程组可得,所以可知与是相交的,而且交点的坐标为.【师生共同完善表格】几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是【以学定教】通过动手操作,直观感知,深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系.师:类似地,可以用同样的方法来考察平面直角坐标系中任意两条直线的位置关系.【师生共同讨论,小组交流】师:若直线,如何判断两条直线的位置关系?生:由直线,可得方程组判断两条直线的位置关系只需要判断方程组的解的个数情况.师:如何判断方程组的解的个数情况?生:消去未知数并整理,可得【以学论教】通过联立方程组判断两直线相交的结论来类比.推出当直线用斜截式表示时,相交、平行或重合的条件,达到新旧知识的融会贯通,学生易于接受和理解【教师讲解,学生听讲,随后教师总结】师:下面需要分类讨论.(1)当且仅当,即时,①式有唯一的解,因此可知方程组有唯一的解,且.此时,直线与有唯一的交点(称为相交),且交点坐标为.(2)当且仅当且,即且时,①式无解,因此方程组也无解.此时,直线与没有交点,因此它们相互平行.(3)当且仅当且,即且时,任意实数都是①式的解,方程组有无数组解.此时,直线与的方程完全一样,它们重合.【概括理解能力】掌握从直线方程的角度判断两条直线相交、平行或重合;进一步理解斜截式方程中的几何意义,提升概括理解能力.【要点知识】两条直线的位置关系若直线,则:与相交;与平行且;与重合且.师:以上的结论也可以从斜率来反映直线相对于轴的倾斜程度直观理解.回想一下上面讨论包括了平面直角坐标系中的所有直线吗?生:上面的讨论要求直线的斜率必须存在,不包括斜率不存在的直线.【观察记忆能力】通过斜率反映两条直线的位置关系.学生通过直观的图像就可以理解,体现了观察记忆能力,提升了直观想象核心素养师:为了包括平面直角坐标系中的所有直线,直线方程应该如何表示?生:用直线的一般式方程,设直线.师:我们可以用什么办法来研究直线的位置关系?生:从直线的一般式方程中可以找到直线的法向量,所以可以用直线的法向量来研究,也可以用类比斜截式方程的讨论方法,对一般式方程构成的方程组的解的情况进行研究讨论.师:用直线的法向量如何研究直线的位置关系?如图.生:因为是直线的一个法向量,是直线的一个法向量,如图(1)(2)所示,所以,(1)与相交(即只有一个交点)的充要条件是与不共线,即;(2)与平行或重合的充要条件是与共线,即.师:继续研究与共线的情况,若与共线,情况如何?生:当与共线时,存在实常数,使得,因为与都不是零向量,所以,且此时的方程可以改写为,即.师:由此可以看出,方程组要么有无穷多组解,要么无解.当与共线时,两条直线可以化简成有相同的法向量,而且有无穷多组解的充要条件为,那么,两条直线的位置关系如何?生:当时,直线平行;当时,直线重合.【深度学习】当两条直线的法向量共线时,要注意两条直线有可能平行,有可能重合,这时还需要通过判断和是否相等来进一步确定,而在两个法向量共线的前提下,计算量也大大减少,凸显出向量对解决问题的帮助.师:所以,直线与重合的充要条件为,存在实数,使得下面看一道例题.【典型例题】判断两条直线的位置关系例1判断对应的两条直线的位置关系.(1).(2).(3)师:请同学们说一说这道题应该如何做?生:用直线的法向量来研究.(1)与不共线,所以两条直线相交.(2)与共线,所以两条直线平行或重合,化为,所以两条直线平行.(3)与共线,所以两条直线平行或重合,化为,所以两条直线重合.【深度学习】通过动手练习,直观感知,深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系.师:还有其他的方法吗?生:还可以根据一般式方程构成的方程组的解的情况来判断.(1)方程组有唯一解,所以直线与相交,交点为.(2)方程组无解.所以直线与平行.(3)两个方程可化为同一个方程,所以方程组有无数组解.所以直线与重合.师:(1)中方程组有唯一解,对应直线与相交;(2)中方程组无解,两个方程就没有公共解,那么方程对应的两条直线无交点,所以它们相互平行.(3)中方程组有无数组解,两条直线重合.师:两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系?【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以点拨】【情境学习】通过学生独立思考,师生共同总结,加强对知识的理解:由具体问题的解通过思考、感悟得到一般性结论,循序渐进,符合学生的认知规律,便于理解记忆;在问题探究的过程中,让学生体会数形结合的思想.生:已知,将方程联立,得对于这个方程组解的情况分三种讨论:(1)若方程组有唯一解,则相交,有唯一的公共点;(2)若方程组无解,则没有公共点,即平行;(3)若方程组有无数组解,则有无数多个公共点,即重合.师:如果中有等于0的情况,方程比较简单,两条直线的位置关系也容易确定,和都不为0的情况下,如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢?【简单问题解决能力】通过对问题的分析、解决,培养学生综合分析问题和转化化归的能力:通过方法探究,一题多解,发散思维,有益于沟通知识和方法,开拓解题思路.提升简单问题解决能力.【要点知识】两条直线的位置关系对于直线,有方程组【概括理解能力】理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.提升概括理解能力.师:下面看一下例2.【典型例题】两条直线的位置关系例2判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:(1);(2).【学生板书,教师给予点评】生解:(1)将与的方程分别化为斜截式可知.因此与的斜率相等,但截距不相等,所以它们平行.(2)解方程组可得.因此与相交,而且交点的坐标为.【分析计算能力】通过例2进一步巩固两直线位置关系与直线组成的方程组解的个数的对应关系:学生板书便于及时发现问题、解决问题,并规范学生的解题步骤,提升分析计算能力:通过对答案的批改、校对,培养学生反思、总结的习惯师:下面再看一道例题.【典型例题】求直线的方程例3已知直线过点且与直线平行,求直线的方程.生解:依题意可设的方程为.由于过点,因此,解得.因此直线的方程为.师:例3中所求得的直线只有一条,这实际上也能说明,通过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.【设活动深探究】在探究两直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数问题的过程中,把学习的主动权还给学生,让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程,使数学课堂生动起来通过探究讨论,动画展示,加深对解析法的理解,培养学生勇于探索的科学精神,师:下面看一下例3的变式.【巩固练习】求直线的方程变式求经过两条直线和的交点,且和直线平行的直线的方程.师分析:由直线与直线平行,可以求得直线的斜率;又因为直线经过两条直线和的交点,所以求出两直线的交点即可由点斜式求得直线的方程.生解:(方法一)∵直线的斜率为2,且直线与直线平行,∴直线的斜率为.解方程组得,∴直线和的交点坐标为.∴直线的方程为,即.(方法二)设与直线平行的直线的方程为,解方程组得,∴直线和的交点坐标为.∵直线经过点,∴,即直线的方程为.【综合问题解决能力】通过学生动手实践和多媒体演示,培养学生对问题的深入理解,培养学生综合问题解决和转化化归的能力.师:方法一中求直线方程的方法是通法,必须掌握;方法二中利用了平行直线的设法,即与直线平行的直线方程可设为,其中待定.师:方程中的未知数是什么?可取什么值?生:未知数是可取任意实数,是常数.师:是关于的几元几次方程?生:二元一次方程.师:这个二元一次方程表示什么图形?生:表示直线.师:这个二元一次方程能够表示多少条直线?生:无数条,一个的值就对应一条直线.师:这些直线有什么共同特点吗?如何研究呢?既然一个的值就对应一条直线,那么,能否通过给定的特殊值进行研究呢?例如,取.生:当时,方程为;当时,方程为;当时,方程为,即;当时,方程为,即.作出图形可知,所有直线都过一个定点,该点为,即为例3变式中两条直线和的交点.由此猜测:方程表示的直线都经过点.【教师多媒体动画演示,验证学生的猜想】师:方程能表示这条直线吗?【学生思考验算后得出结论】生:方程表示除直线以外且经过两条直线和交点的直线.【简单问题解决能力】通过方法探究,一题多解,发散思维,有益于沟通知识和方法,开拓解题思路.提升简单问题解决能力.师:像这种具有某种共同性质的所有直线的集合,称为直线系;它的方程叫直线系方程.【归纳总结】过两条直线交点的直线系方程的表示若直线与直线相交,则表示过与交点的直线系(不包括直线方程.师:下面请同学们利用直线系方程来求例3变式中直线的方程.【学生板书,教师指导并点评】生解:(方法三)设经过两条直线和的交点的直线方程为,则.∵直线与直线平行,∴,即.∴直线的方程为.【以学论教】从特殊到一般的讨论,先讨论直线的斜截式方程下两直线的位置关系,这样设计是基于学生初中的基础,斜截式方程是学生最熟悉的方程形式,这样安排充分体现了遵循学生认知基础的原则,同时也锻炼了学生的运算能力,特别是字母的运算,也培养了学生从特殊到一般地研究问题的思维习惯.师:通过本节课,你学到了哪些知识?【课堂小结】两条直线的相交、平行与重合1.知识点(1)两条直线的交点.(2)二元一次方程组的解与两条直线的位置关系.(3)直线的斜率、截距与两条直线的位置关系.(4)一般式直线方程的系数与两条直线位置关系.2.思想方法(1)由特殊到一般的思想.(2)转化化归的思想.(3)数形结合的思想.【设计意图】通过课堂小结学生梳理本节课所学知识和思想方法,为本节课的完成做归纳,为课后练习做好铺垫.教学评价直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图像可得.解析:因