2024-2025学年新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用学案含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE8.2一元线性回来模型及其应用最新课标(1）结合详细实例，了解一元线性回来模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，驾驭一元线性回来模型参数的最小二乘估计方法，会运用相关的统计软件．(2）针对实际问题，会用一元线性回来模型进行预料．[教材要点]要点一一元线性回来模型我们称eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e,E（e）＝0，D（e）＝σ2))为Y关于x的一元线性回来模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或说明变量；a和b为模型的未知参数，a称为________参数，b称为________参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．要点二一元线性回来模型参数的最小二乘估计1.阅历回来方程：将eq\o(y,\s\up9(^))＝________称为Y关于x的阅历回来方程，也称阅历回来函数或阅历回来公式，其图形称为________________．这种求阅历回来方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up9(^))，eq\o(a,\s\up9(^))叫做b，a的最小二乘估计，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up9(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up9(－))）（yi－\o(y,\s\up9(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up9(－))）2)，,\o(a,\s\up9(^))＝\o(y,\s\up9(－))－\o(b,\s\up9(^))\o(x,\s\up9(－))．))2.残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过阅历回来方程得到的eq\o(y,\s\up9(^))称为预料值，观测值减去预料值称为残差.3.用确定系数R2确定模型的拟合效果：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up9(－))）2).R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．[基础自测]1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）(1）阅历回来方程适用于一切样本和总体．(）(2）阅历回来方程一般都有局限性．(）(3）样本取值的范围会影响阅历回来方程的适用范围．(）(4）阅历回来方程得到的预料值是预料变量的精确值．(）2.假如记录了x，y的几组数据分别为(0，1），(1，3），(2，5），(3，7），那么y关于x的阅历回来直线必过点(）A．(2，2）B．(1.5，2）C．(1，2）D．(1.5，4）3.已知阅历回来方程eq\o(y,\s\up9(^))＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9），(3，7.1），(4，9.1），则残差平方和是(）A．0.01B．0.02C．0.03D．0.044.已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数eq\o(x,\s\up9(－))＝4，eq\o(y,\s\up9(－))＝5，阅历回来方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))中的系数eq\o(b,\s\up9(^))，eq\o(a,\s\up9(^))满意eq\o(b,\s\up9(^))＋eq\o(a,\s\up9(^))＝4，则阅历回来方程为________．题型一阅历回来方程的求解及应用——微点探究微点1公式法求阅历回来方程例1某种产品的广告费用支出x(单位：百万元）与销售额y(单位：百万元）之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070(1）画出散点图；(2）求阅历回来方程；(3）试预料广告费用支出为10百万元时，销售额是多少．(参考数据：eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380）eq\a\vs4\al(状元随笔)留意阅历回来方程中的一次项系数为eq\o(b,\s\up9(^))，常数项为eq\o(a,\s\up9(^))，这与一次函数的表示习惯不同．微点2利用样本点中心(eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－))）求阅历回来方程例2某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元）88.28.48.68.89销量y(件）908483807568由表中的数据得到的阅历回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝－20，预料当产品单价定为9.5元时，销量约为________件．eq\a\vs4\al(状元随笔)样本点的中心(eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－))）在阅历回来直线上．方法归纳求阅历回来方程的步骤(1）确定探讨对象，明确哪个变量是说明变量，哪个变量是响应变量；(2）画出说明变量和响应变量的散点图，视察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等）；(3）由阅历确定回来方程的类型(如我们视察到数据呈线性相关关系，则选用阅历回来方程）；(4）用最小二乘法求阅历回来方程中的参数；(5）写出阅历回来方程．跟踪训练1某个体服装店经营某种服装在某周内获得的纯利润y(元）与该周每天销售这种服装的件数x之间有如下一组数据：x3456789y66697381899091已知eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝280，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝45309，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝3487.(1）求eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－))；(2）求纯利润y与每天销售件数x的阅历回来方程；(3）估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元？题型二阅历回来分析——师生共研例3已知某种商品的单价x(单位：元）与需求量y(单位：件）之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y关于x的阅历回来方程，并说明回来模型拟合效果的好坏．方法归纳R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回来模型中，R2表示说明变量对于响应变量改变的贡献率，R2越接近于1，回来的效果越好(因为R2越接近于1，说明变量和响应变量的相关性越强）.若对某组数据可以实行几种不同的回来方程进行回来分析，则可以通过比较几个R2，选择R2大的模型作为这组数据的回来模型．跟踪训练2某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元/件）及相应月销量y(单位：万件），对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价xi(元/件）99.51010.511月销售量yi(万件）1110865(1）建立y关于x的阅历回来方程；(2）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回来直线方程得到的预料数据与此次促销活动的实际数据之差的肯定值不超过0.5万件，则认为所得到的阅历回来方程是志向的，试问：(1）中得到的阅历回来方程是否志向？(3）依据(1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时(销售单价不超过11元/件），公司月利润的预料值最大？参考公式：阅历回来方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up9(－))2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－)).参考数据：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝502.5.题型三非线性阅历回来方程的求解——师生共研例4为了探讨某种细菌繁殖的个数y随时间x改变的状况，收集如表数据：天数x(天）123456繁殖个数y(个）612254995190(1）用天数作说明变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图．(2）视察散点图是否可用曲线y＝c1ec2x拟合，描述说明变量与响应变量之间的关系．方法归纳求非线性阅历回来方程的步骤(1）确定变量，作出散点图．(2）依据散点图，选择恰当的拟合函数．(3）变量置换，通过变量置换把非线性阅历回来问题转化为阅历回来问题，并求出阅历回来方程．(4）分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来推断拟合效果．(5）依据相应的变换，写出非线性阅历回来方程．跟踪训练3电容器充电后，电压达到100V，然后起先放电．由阅历知道，此后电压U随时间t改变的规律用公式U＝Aebt(b<0）表示．现测得时间t(s）时的电压U(V）如下所示：t012345678910U100755540302015101055试求电压U对时间t的回来方程．易错辨析缺失基本解题步骤致错例5在一次抽样检查中，抽得5个样本点，数据如下表：x0.250.5124y1612521试建立y关于x的回来方程．解析：作出散点图，如图(1）所示，由散点图可以看出，图象近似反比例函数在第一象限的部分，因此令u＝eq\f(1,x)，由已知数据，可得变换后的样本数据：u4210.50.25y1612521作出散点图，如图(2）所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的旁边，因此可以用阅历回来方程拟合．计算得eq\o(u,\s\up9(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up9(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,u)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝21.3125，则eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,u)iyi－5\o(u,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(u,\s\up9(－))2)≈4.13，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(u,\s\up9(－))≈0.8.从而得到y关于u的回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝4.13u＋0.8，则y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f(4.13,x)＋0.8.【易错警示】易错缘由解决此题易出现如下错误：依据数据计算得eq\o(x,\s\up9(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up9(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝23，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝21.3125，代入公式计算得eq\o(b,\s\up9(^))≈－3.53，eq\o(a,\s\up9(^))≈12.67，从而得到y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝－3.53x＋12.67.事实上，由散点图可知样本点并没有呈线状分布，两个变量不具有很强的线性相关关系．错解是由于没有依据建立回来模型的基本步骤解题，忽视了画散点图，没有视察数据之间的关系造成错误．(2）一些非线性回来问题可通过中间量变换，转化为阅历回来问题求解．纠错心得(1）解决这类问题必需严格依据建立回来模型的基本步骤，不能主观臆断，必需按部就班，依照步骤解题．eq\x(温馨提示：请完成课时作业（十五）)

8．2一元线性回来模型及其应用新知初探·课前预习要点一截距斜率要点二1.eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))阅历回来直线[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：因为eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，所以样本点的中心为(1.5，4)，而阅历直线过样本点的中心．故选D.答案：D3．解析：因为残差eq\o(e,\s\up9(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up9(^))i，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.故选C.答案：C4．解析：阅历回来方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))过样本中心点(4，5)，所以4eq\o(b,\s\up9(^))＋eq\o(a,\s\up9(^))＝5；又eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(b,\s\up9(^))＝4，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4\o(b,\s\up9(^))＋\o(a,\s\up9(^))＝5，,\o(a,\s\up9(^))＋\o(b,\s\up9(^))＝4，))得eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(1,3)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\f(11,3)，所以阅历回来方程为：eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\f(11,3).答案：eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\f(11,3)题型探究·课堂解透题型一例1解析：(1)散点图如图所示．(2)eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(25,5)＝5，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(250,5)＝50.∴eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up9(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝50－6.5×5＝17.5，所以所求的阅历回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝6.5x＋17.5.(3)依据(2)中求得的阅历回来方程，当x＝10时，eq\o(y,\s\up9(^))＝6.5×10＋17.5＝82.5，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．例2解析：因为eq\o(b,\s\up9(^))＝－20，所以eq\o(y,\s\up9(^))＝－20x＋eq\o(a,\s\up9(^)).eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9,6)＝8.5，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80，将(8.5，80)代入eq\o(y,\s\up9(^))＝－20x＋eq\o(a,\s\up9(^))，得eq\o(a,\s\up9(^))＝250，所以阅历回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝－20x＋250，当x＝9.5时，eq\o(y,\s\up9(^))＝－20×9.5＋250＝60.所以当产品单价定为9.5元时，销量约为60件．答案：60跟踪训练1解析：(1)eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,7)(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,7)(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)设阅历回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，则eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7\o(x,\s\up9(－))2)＝eq\f(3487－7×6×79.86,280－7×62)≈4.75eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝79.86－4.75×6＝51.36.∴所求阅历回来方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝4.75x＋51.36.(3)当x＝10时，eq\o(y,\s\up9(^))＝98.86，估计每天销售10件这种服装时，可获纯利润为98.86元．题型二例3解析：计算可得eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up9(－))2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求阅历回来方程是eq\o(y,\s\up9(^))＝－1.15x＋28.1.方法一列出残差表：y1210753eq\o(y,\s\up9(^))129.77.45.12.8y－eq\o(y,\s\up9(^))00.3－0.4－0.10.2所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up9(^))i)2＝0.3，又eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up9(－)))2＝53.2，所以R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up9(－))）2)≈0.994.故回来模型的拟合效果很好．方法二eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝122＋102＋72＋52＋32＝327，则r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\r(（\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up9(－))2）（\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(y,\s\up9(－))2）))＝