2024-2025学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数3.3对数函数y=logax的图象和性质课后训练巩固提升含解析北师大版必修第一册

3.3对数函数y=logax的图象和性质课后训练·巩固提升一、A组1.函数f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P在函数()的图象上.A.y=3x+2 B.y=4-x2C.y=2x D.y=log2x解析:令x+1=1,得x=0.又f(0)=loga1+1=1.所以P(0,1),将P(0,1)代入各选项,可知只有选项C符合,故选C.答案:C2.函数y=log12(A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,1] D.(0,1]解析:要使函数有意义,只需log12(2x-1)≥0=log∴0<2x-1≤1,解得0<x≤1.故所求函数的定义域为(0,1].答案:D3.若loga12>1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是()A.12,1C.0,12∪12,+解析:由loga12>1得loga12>loga则有a>1,a<答案:A4.已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能为()解析:由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)为增函数,解除A,D.又0<a<1,结合选项可知选B.答案:B5.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则()A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b解析:因为log45>log44=1,1=log55>log54>log53>(log53)2,所以c>a>b.答案:D6.若指数函数f(x)=ax(x∈R)的部分对应值如下表:x-202f(x)410.25则不等式loga(x-1)>0的解集为.

解析:因为f(-2)=4,所以a-2=4,故a=12故loga(x-1)>0,即log12(x-1)>所以x-1>0,x故不等式loga(x-1)>0的解集为(1,2).答案:(1,2)7.已知函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1),若存在实数a,使函数f(x)在区间[0,1]上是关于x的减函数,则实数a的取值范围是.

解析:令u=2-ax,∵a>0,且a≠1,∴u=2-ax在区间[0,1]上是关于x的减函数.又f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数,∴函数y=logau是关于u的增函数,∴a>1.∵x∈[0,1]时,u=2-ax恒为正数,∴2-a>0.∴a>1,2-a>0,答案:(1,2)8.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.解:(1)要使函数有意义,只需1解得-3<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-3,1).(2)函数f(x)可化为f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4,因为0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4,即f(x)min=loga4,故loga4=-4,得a-4=4,所以a=4-9.已知函数f(x)=loga(x2-2),且f(2)=1.(1)求a的值;(2)求f(32)的值;(3)解不等式f(x)<f(x+2).解:(1)因为f(2)=1,所以loga(22-2)=1,即loga2=1,解得a=2.(2)由(1)得函数f(x)=log2(x2-2),则f(32)=log2[(32)2-2]=log216=4.(3)不等式f(x)<f(x+2),即log2(x2-2)<log2[(x+2)2-2],即log2(x2-2)<log2(x2+4x+2).因为函数y=log2x在区间(0,+∞)上为增函数,所以x2-2>0所以原不等式的解集为(2,+∞).10.已知函数f(x)=ln1-mx(1)求m的值.(2)推断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.解:(1)f(-x)=ln1+mx-x--f(x)=-ln1-mxx-因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即ln-1-mx1+所以-1-mx1+x=当m=1时,1-mxx-1=-1,函数无意义(2)f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,证明如下:由(1)知f(x)=lnx+1x-1任取x1,x2且x2>x1>1,则1+2由x2>x1>1知,x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以2(x即1+2x所以1+2x1-1>1所以ln1+2x1-即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在区间(1,+∞)上为减函数.二、B组1.不等式log0.5(2x)<log0.5(x-1)的解集为()A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0)解析:原不等式等价于2x>0,故原不等式的解集为(1,+∞).答案:A2.已知函数f(x)是函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,则函数y=f(x)+2的图象恒过点()A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,3)解析:因为y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且f(x)是函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,所以函数f(x)的图象过定点(0,1),从而函数y=f(x)+2的图象过点(0,3).答案:D3.函数f(x)=log2(3x+3-x)是()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数解析:因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.答案:B4.已知log13b<log13a<log13A.3b>3a>3c B.3a>3b>3cC.3c>3b>3a D.3c>3a>3b解析:由已知得b>a>c,因为y=3x在定义域内是增函数,所以3b>3a>3c.答案:A5.若对数函数f(x)=log(a2-1)x在区间(0,+∞)上是增函数解析:由题意得a2-1>1,解得a>2,或a<-2.答案:a>2,或a<-26.函数f(x)=ax+b,x≤0,lo解析:由题中图象可知,x≤0时,函数f(x)的图象过点(-1,0),(0,2),则有-a+b=0又由题图可知,函数y=logcx+1则有logc19=2,解得c=1所以a+b+c=2+2+13答案:137.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时x的值.解:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必需满意1≤x2≤9,1≤x≤9令u=log3x,则0≤u≤1.又∵函数y=(u+3)2-3在区间[-3,+∞)上单调递增,∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13.故当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.8.我们知道对数函数f(x)=logax,对随意x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a>1,则当x>1时,f(x)>0.参照对数函数的性质,探讨下面的问题:定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)对随意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且当且仅当x>1时,f(x)>0成立.(1)设x,y∈(0,+∞),求证:fyx=f(y)-f(x(2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),比较x1与x2的大小.(1)证明:对随意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),把x用yx代替,把y用x代替可得f(y)=fyx+f(x即fyx=f(y)-f(x)(2)解:先推断函数f(x)在x∈(0,+∞)上的单调性,设x3,x4∈(0,+∞),且