2025届高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数I第四节二次函数与幂函数学案理含解析

PAGE第四节二次函数与幂函数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))的图象，了解它们的改变状况.3.理解并驾驭二次函数的定义、图象及性质.幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是2024年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，分值为5分.1.逻辑推理2.数学运算‖学问梳理‖1．幂函数(1)定义：形如eq\x(1)y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝eq\x(2)ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝eq\x(3)a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝eq\x(4)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象eq\a\vs4\al()eq\a\vs4\al()定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\x(5)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\x(6)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称►常用结论(1)二次函数y＝f(x)对定义域内全部x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．(2)一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝2xeq\s\up6(\f(1,3))是幂函数．()(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不行能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值肯定是eq\f(4ac－b2,4a).()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、走进教材2．(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2答案：C3．(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是___________________．答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)三、易错自纠4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)>f(1)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0.又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A．5．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，则a的取值范围是____________________．解析：由y＝x－2的图象关于y轴对称知，函数y＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．因为(a＋1)－2>(3－2a)－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1>0，,3－2a>a＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a<0，,a＋1<0，,3－2a<a＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0，,3－2a>－（a＋1）))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a<0，,a＋1>0，,－（3－2a）>a＋1，))解得－1<a<eq\f(2,3)或a∈∅或a<－1或a>4，所以a的取值范围是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(幂函数的图象与性质))|题组突破|1．(2025届福建龙岩新罗区期中)若函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f(x)()A．是偶函数 B．是奇函数C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值解析：选B由幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm的图象与坐标轴无交点，可得m2－m－1＝1，且m≤0，解得m＝－1，则函数f(x)＝x－1，是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B．2．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，27))在幂函数f(x)＝(t－2)xa的图象上，则t＋a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，27))在幂函数f(x)＝(t－2)xa的图象上，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝(t－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(a)＝27，且t－2＝1，解得t＝3，a＝－3，∴t＋a＝3－3＝0.故选B．3．如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±eq\f(1,2)四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为()A．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2 B．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，－2，2，eq\f(1,2) D．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2解析：选A依据幂函数y＝xn的性质及在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，递增速度越快，故曲线C1对应的n＝2，曲线C2对应的n＝eq\f(1,2)；当n<0时，x→＋∞时，|n|越大，曲线递减速度越快，所以曲线C3对应的n＝－eq\f(1,2)，曲线C4对应的n＝－2.故选A．►名师点津幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟识各类幂函数的图象特征，如过特别点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(二次函数的图象与性质))|题组突破|4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B．5．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]解析：选D当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满意条件；当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上递减，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故选D．6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．依据现有信息，题中的二次函数肯定不具有的性质是()A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3，0)解析：选C由已知得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，∴二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，∴其顶点的横坐标为2.故选C．►名师点津二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类探讨：二次项参数大于0，等于0，小于0.(2)再定量：依据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(二次函数的最值问题——变式探究))【例】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．[解]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a，－2<a≤1，,－1，a>1.))|变式探究|1．(变条件)若“y＝x2－ax，x∈[－2，2]”，问题不变．解：∵对称轴x＝eq\f(a,2)，∴①当eq\f(a,2)≤－2，即a≤－4时，此时在[－2，2]上单调递增，故当x＝－2时，ymin＝g(－2)＝4＋2a.②当eq\f(a,2)≥2，即a≥4时，此时在[－2，2]上单调递减，∴当x＝2时，ymin＝g(2)＝4－2a.③当－2<eq\f(a,2)<2，即－4<a<4时，函数在x＝eq\f(a,2)时取得最小值，即ymin＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4).综上，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2a，a≤－4，,－\f(a2,4)，－4<a<4，,4－2a，a≥4.))2．(变条件)若“y＝ax2－2x，x∈[0，1]”，问题不变．解：①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2；②当a≠0时，有f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,a).(ⅰ)当a>0时，函数f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝eq\f(1,a).∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝－eq\f(1,a)；当eq\f(1,a)＞1，即0<a<1时，函数f(x)的图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2；(ⅱ)当a<0时，函数f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴x＝eq\f(1,a)<0，在[0，1]的左侧，∴f(x)在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2，a<1，,－\f(1,a)，a≥1.))►名师点津求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：(1)当－eq\f(b,2a)∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＝eq\f(4ac－b2,4a)；若－eq\f(b,2a)≤eq\f(m＋n,2)，f(x)的最大值为f(n)；若－eq\f(b,2a)≥eq\f(m＋n,2)，f(x)的最大值为f(m)．(2)当－eq\f(b,2a)∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：f(x)在[m，n]上是单调函数．若－eq\f(b,2a)<m，f(x)在[m，n]上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<－eq\f(b,2a)，f(x)在[m，n]上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)．(3)当不能确定对称轴－eq\f(b,2a)是否属于区间[m，n]时：则需分类探讨，以对称轴与区间的关系确定探讨的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．|跟踪训练|求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，由题意得，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.①当－a<eq\f(1,2)，即a>－eq\f(1,2)时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；②当－a≥eq\f(1,2)，即a≤－eq\f(1,2)时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，综上，f(x)max＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋5，a>－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(二次函数的创新应用问题))【例】设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．[解析]由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同始终角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当函数y＝m与y＝x2－5