2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质学案含解析北师大版必修4

PAGE6余弦函数的图像与性质考纲定位重难突破1.会利用诱导公式、图像的平移得到余弦函数的图像．2.会用五个关键点画函数y＝cosx在x∈[0,2π]上的简图．3.驾驭余弦函数的性质.重点：1.用“五点法”画余弦函数的图像．2.余弦函数的性质应用．难点：余弦函数的图像和性质综合应用.授课提示：对应学生用书第16页[自主梳理]1．余弦函数图像的画法(1)平移法(2)五点法①五个关键点x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101②函数y＝cosx，x∈[0,2π]的简图③y＝cosx，x∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次平移2π个单位)得到余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像，此图像叫做余弦曲线．2．余弦函数的性质函数性质y＝cosx定义域R值域[－1,1]奇偶性偶函数周期性周期函数，最小正周期为2π单调性在每一个区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在每一个区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是削减的[双基自测]1．使cosx＝1－m有意义的m的取值范围是()A．m≥0 B．0≤m≤2C．－1＜m＜1 D．m＜－1或m＞1解析：∵y＝cosx∈[－1,1]，∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.答案：B2．下列关于y＝cosx，x∈R的图像描述错误的是()A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形态相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点答案：C3．在同一坐标系中，函数y＝－cosx的图像与余弦函数y＝cosx的图像()A．只关于x轴对称 B．关于原点对称C．关于原点、x轴对称 D．关于原点、坐标轴对称解析：作出函数y＝cosx与函数y＝－cosx的简图(图略)，易知选C.答案：C授课提示：对应学生用书第16页探究一余弦函数的图像及应用[典例1]用“五点法”作函数y＝1－cosx(0≤x≤2π)的简图．[解析]列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝cosx10－101y＝1－cosx01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图．1．用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．2．学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图像区分和联系的理解．1．画函数y＝2cosx＋3，x∈[0,2π]的简图．解析：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝cosx10－101y＝2cosx＋353135(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0,5)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3))，(2π，5)五个点．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示．探究二余弦函数的定义域、值域[典例2]求函数f(x)＝eq\r(2cosx－1)的定义域、值域．[解析]由2cosx－1≥0知cosx≥eq\f(1,2)，作出y＝cosx在x∈[－π，π]的图像(图略)知，2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，∴定义域为{x|2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．又∵eq\f(1,2)≤cosx≤1，∴1≤2cosx≤2.∴0≤2cosx－1≤1.∴y＝eq\r(2cosx－1)的最小值为0，最大值为1，即值域为[0,1]．求与余弦函数有关的函数的定义域、值域时要留意数形结合思想的运用，以及余弦函数的有界性．2．设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满意f(a)＝eq\f(1,2)的a的值，并对此时的a值求y的最大值．解析：令cosx＝t，t∈[－1,1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，函数图像的对称轴为直线t＝eq\f(a,2).当eq\f(a,2)＜－1，即a＜－2时，函数y在[－1,1]上单调递增，ymin＝1≠eq\f(1,2)；当eq\f(a,2)＞1，即a＞2时，函数y在[－1,1]上单调递减，ymin＝－4a＋1＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,8)，与a＞2冲突；当－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，ymin＝－eq\f(a2,2)－2a－1＝eq\f(1,2)，a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，∴a＝－1.此时ymax＝－4a＋1＝5.综上可知，满意f(a)＝eq\f(1,2)的a的值为－1，此时y的最大值为5.探究三余弦函数性质的应用[典例3]比较coseq\f(18π,7)与cos(－eq\f(π,7))的大小．[解析]∵coseq\f(18π,7)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,7)))＝coseq\f(4π,7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7)))＝coseq\f(π,7)，且0＜eq\f(π,7)＜eq\f(4π,7)＜π，又∵y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴coseq\f(π,7)＞coseq\f(4π,7)，即coseq\f(18π,7)＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7))).比较大小常利用函数的单调性，单调性是对一个函数某个区间而言的，不同的函数名称，且所给数值不在同一个单调区间内时，应先由诱导公式进行适当转化，再利用函数的单调性比较大小．3．利用余弦函数的单调性，比较cos(－eq\f(23π,5))与cos(－eq\f(17π,4))的大小．解析：cos(－eq\f(23π,5))＝coseq\f(23π,5)＝coseq\f(3π,5)，cos(－eq\f(17π,4))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\f(π,4).因为0＜eq\f(π,4)＜eq\f(3π,5)＜π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，所以coseq\f(π,4)＞coseq\f(3π,5)，即cos(－eq\f(23π,5))＜cos(－eq\f(17π,4))．利用分类探讨的思想求参数的值[典例](本题满分12分)当函数y＝－cos2x＋acosx－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)(a≥－2)的最大值为1时，求实数a的值．[解析]设t＝cosx，则y＝－t2＋at－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)，①3分其中－1≤t≤1，对称轴t＝eq\f(a,2).4分①若－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，②当t＝eq\f(a,2)时，ymax＝eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)，6分令eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝1，解得a＝1±eq\r(7)，舍去a＝1＋eq\r(7)，所以a＝1－eq\r(7).8分②若eq\f(a,2)>1，即a>2时，②当t＝1时，ymax＝eq\f(a,2)－eq\f(3,2).令eq\f(a,2)－eq\f(3,2)＝1，③所以a＝5，11分综上所述，a＝1－eq\r(7)或a＝5.④12分[规范与警示](1)在①处，换元后将函数的一般式变形为顶点式，为利用二次函数的性质及“最大值为1”这一条件奠定基础．这是解题的关键点．在②处，由a≥－2，函数在不同的区间内最值不同，所以对参数a进行分类探讨，分两类探讨，即①－1≤eq\f(a,2)≤1，②eq\f(a,2)>1，本步为易漏点，也是失分点．解答本题常忽视③处