2024-2025学年新教材高中数学第8章函数应用8.2.1几个函数模型的比较课后素养落实含解析苏教版必修第一册

课后素养落实(四十三)几个函数模型的比较(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多选题)当a>1时，其中正确的结论是()A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快AD[结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝eq\f(2x,10).]4．小明骑车上学，起先时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事务吻合得最好的图象是()ABCDC[小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故解除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故解除B.故选C.]5．某学校开展探讨性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)D[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是渐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采纳特别值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.]二、填空题6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.y＝x2[当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．]7．三个变量y1，y2，y3随变量x的改变状况如表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中关于x呈对数函数型改变的变量是________，呈指数函数型改变的变量是________，呈幂函数型改变的变量是________．y3y2y1[依据三种模型的改变特点，视察表中数据可知，y2随着x的增大而快速增加，呈指数函数型改变，y3随着x的增大而增大，但改变缓慢，呈对数函数型改变，y1相对于y2的改变要慢一些，呈幂函数型改变．]8．生活阅历告知我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的改变而改变，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．ABCD(1)(2)(3)(4)(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上细，水高度的改变先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度改变为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的改变速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的改变为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]三、解答题9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．[解]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．10．某地西红柿从2月1日起起先上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t(天)60100180种植成本Q(元/100kg)11684116依据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的改变关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，回答下列问题：(1)求西红柿种植成本最低时的上市天数；(2)求最低种植成本．[解]依据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．(1)函数图象的对称轴方程为t＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(60＋180,2)＝120，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3600a＋60b＋c＝116，,10000a＋100b＋c＝84，,32400a＋180b＋c＝116，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2.4，,c＝224，,a＝0.01.))所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，所以最低种植成本是14400a＋120b＋c＝14400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100kg1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()ABCDD[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中的图象，故选D.]2．(多选题)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是()A．此指数函数的底数为2B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30mC．野生水葫芦从4m2扩散到12mD．设野生水葫芦扩散到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2ABD[易知该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以B正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．]3．若已知16<x<20，利用图象可推断出x和log2x的大小关系为________．x>log2x[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；x＝4或x＝16时，x＝log2x；在(4,16)内，x<log2x；在(16,20)内，x>log2x.]4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满意关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．1.75[∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2.当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]某鞋厂从今年1月份起先投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售状况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，须要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产娴熟和理顺了生产流程．厂里也短暂不打算增加设备和工人，假如你是厂长，将会采纳什么方法估计以后几个月的产量？[解]将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07，③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8