2025届上海市封浜高中高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届上海市封浜高中高一数学第一学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是函数的部分图象，则（）A. B.C. D.2．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是密位制，即将一个圆周角分为等份，每一个等份是一个密位，那么密位对应弧度为（）A. B.C. D.3．已知函数，则的值是（）A. B.C. D.4．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A. B.C. D.5．今有一组实验数据如下：x23456y1.52.012.985.028.98现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（）A. B.C. D.6．弧长为3，圆心角为的扇形面积为A. B.C.2 D.7．已知幂函数的图象过（4，2）点，则A. B.C. D.8．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步恰竿齐，五尺板高离地……”某教师根据这首词设计一题：如图，已知，，则弧的长（）A. B.C. D.9．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1 B.x2C.x3 D.x410．已知定义域为的奇函数满足，若方程有唯一的实数解，则（）A.2 B.4C.8 D.16二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为______12．若函数的定义域为，则函数的定义域为______13．函数在上的最小值是__________14．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则___________.15．若，则_____16．已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，，则的值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间是200小时，而在1℃的温度下则是160小时，而在2℃的温度下则是128小时.（1）写出保鲜时间关于储藏温度（℃）的函数解析式；（2）利用（1）的结论，若设置储藏温度为3℃的情况下，某人储藏一瓶牛奶的时间为90至100小时之间，则这瓶牛奶能否正常饮用？（说明理由）18．已知，求，的值.19．已知函数（为常数且）的图象经过点，（1）试求的值；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.20．已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围.21．在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证:平面；（3）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由图象求出函数的周期，进而可得的值，然后逆用五点作图法求出的值即可求解.【详解】解：由图象可知，函数的周期，即，所以，不妨设时，由五点作图法，得，所以，所以故选：B.2、B【解析】根据弧度制公式即可求得结果【详解】密位对应弧度为故选：B3、D【解析】根据题意，直接计算即可得答案.【详解】解：由题知，，.故选：D4、C【解析】根据题意，分别判断四个选项中的函数的最小正周期和奇偶性即可，其中A、C选项中的函数先要用诱导公式化简.【详解】A选项：，其定义域为，，为偶函数，其最小正周期为，故A错误.B选项：，其最小正周期为，函数定义域为，，函数不是奇函数，故B错误.C选项：其定义域为，，函数为奇函数，其最小正周期为，故C正确.D选项：函数定义域为，，函数为偶函数，其最小正周期，故D错误.故选：C.5、B【解析】根据表格中的数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，根据散点图可知，随着的增大，的值增大，并且增长速度越来越快，结合选项：函数增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数增长速度越来越快，符合题意；函数，增长速度不变，不符合题意；而函数，当时，可得；当时，可得，此时与真实数据误差较大，所以最接近的一个函数是.故选：B.6、B【解析】弧长为3，圆心角为，故答案为B7、D【解析】设函数式为，代入点（4，2）得考点：幂函数8、C【解析】求出长后可得，再由弧长公式计算可得【详解】由题意，解得，所以，，所以弧的长为故选：C9、C【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.10、B【解析】由条件可得，为周期函数，且一个周期为6，设，则得到偶函数，由有唯一的实数解，得有唯一的零点，则，从而得到答案.【详解】由得，即，从而，所以为周期函数，且一个周期为6，所以.设，将的图象向右平移1个单位长度，可得到函数的图象，且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，从而偶函数有唯一的零点，且零点为，即，即，解得，所以故选：.【点睛】关键点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，解答本题的关键是由条件得到，得到为周期函数，设的图象，且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，从而偶函数有唯一的零点，且零点为，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】考虑分段函数的两段函数的最小值，要使是函数的最小值，应满足哪些条件，据此列出关于a的不等式，解得答案.【详解】要使是函数的最小值，则当时，函数应为减函数，那么此时图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即当时，，当且仅当x=1时取等号，则，解得，所以，故答案为：.12、【解析】利用的定义域，求出的值域，再求x的取值范围.【详解】的定义域为即的定义域为故答案为：13、【解析】在上单调递增最小值为14、【解析】利用三角函数定义求出、的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】由三角函数的定义可得，，因此，.故答案为：.15、【解析】首先求函数，再求的值.【详解】设，则所以，即，，.故答案为：16、【解析】利用严格单调减函数定义求得值，然后在由区间上整数个数，可确定的值【详解】，根据题意，，又，，所以，即，，在上只有13个整数，因此可得，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）可以正常饮用【解析】（1）利用题中条件，列出等式，求解即可；（2）利用（1）中结论，当时，即可计算出保鲜时间，判断即可【小问1详解】由题意可知解得【小问2详解】由（1）知温度为3℃时保鲜的时间为：小时故可以正常饮用18、见解析【解析】分角为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解.【详解】因为，，所以是第三或第四象限角.由得.如果是第三象限角，那么，于是，从而；如果是第四象限角，那么，.综上所述，当是第三象限角时，，；当是第四象限角时，，.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20、（1）（2）【解析】（1）时，求出集合，由此能求出；（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围【小问1详解】解：时，集合，，【小问2详解】解：，，当时，，解得，当时，，解得，实数的取值范围是21、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)欲证线面平行，则需证直线与平面内的一条直线平行.由题可证,则证得平面；(2)欲证线面垂直，则需证直线垂直于平面内的两条相交直线.连接，可