山东省烟台市芝罘区烟台二中2025届高二数学第一学期期末经典试题含解析

山东省烟台市芝罘区烟台二中2025届高二数学第一学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A. B.1C. D.3．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.84．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm5．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为（）A. B.2C. D.6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.7．设是周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.C. D.8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺9．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.10．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.611．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（）A. B.C. D.12．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______14．2021年7月，某市发生德尔塔新冠肺炎疫情，市卫健委决定在全市设置多个核酸检测点对全市人员进行核酸检测.已知组建一个小型核酸检测点需要男医生1名，女医生3名，每小时可做200人次的核酸检测，组建一个大型核酸检测点需要男医生3名，女医生3名.每小时可做300人次的核酸检测.某三甲医院决定派出男医生10名、女医生18名去做核酸检测工作，则这28名医生需要组建________个小型核酸检测点和________个大型核酸检测点，才能更高效的完成本次核酸检测工作.15．已知函数在R上连续且可导，为偶函数且，其导函数满足，则不等式的解集为___.16．命题，恒成立是假命题，则实数a取值范围是________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；18．（12分）在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.19．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.20．（12分）△ABC的三个顶点分别为（1）求△ABC的外接圆M的方程；（2）设直线与圆M交于两点，求|PQ|的值21．（12分）已知圆，直线（1）证明直线与圆C一定有两个交点；（2）求直线与圆相交的最短弦长，并求对应弦长最短时的直线方程22．（10分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【详解】，故，故恒成立等价于，即恒成立，化简得到，因为，当且仅当，即时取等号，所以故选：D2、A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.3、B【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B4、A【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出【详解】由题意可得，，解得．故选：A5、D【解析】根据给定条件求出抛物线的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.【详解】依题意，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点的距离为，p>0，解得，于是得抛物线的方程为，由得，，即抛物线与轴的交点坐标为，因此，，所以矿石落点的最远处到点的距离为.故选：D6、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.7、A【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，又函数为奇函数，∴．故选A【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值8、D【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，，解得：，，所以冬至的日影长为尺.故选：D9、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率故选：D.10、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.11、C【解析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.【详解】对A，，为奇函数；对B，，为奇函数；对C，，为偶函数；对D，，既不是奇函数也不是偶函数.故选：C.12、B【解析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项.【详解】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由两圆公共弦方程，将两圆方程相减得到，结合已知列方程组求、，即可得答案.【详解】由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦，∴，可得，∴.故答案为：.14、①.4②.2【解析】根据题意建立不等式组，进而作出可行域，最后通过数形结合求得答案.【详解】设需要组建个小型核酸检测点和个大型核酸检测点，则每小时做核酸检测的最高人次，作出可行域如图中阴影部分所示，由图可见当直线过点A时，z取得最大值，由得恰为整数点，所以组建4个小型核酸检测点和2个大型核酸检测点，才能更高效的完成本次核酸检测工作.故答案为：4；2.15、【解析】由已知条件可得图象关于对称，在上递增，在上递减，然后分四种情况讨论求解即可【详解】因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以的图象关于对称，因为，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，综上，，所以等式的解集为故答案为：16、【解析】由命题为假命题可得命题为真命题，由此可求a范围.【详解】∵命题，恒成立是假命题，∴，，∴，，又函数在为减函数，∴，∴，∴实数a的取值范围是,故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.【详解】（1）由p：为真，解得.（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集所以.即.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）通过计算·=0来证得AB1⊥BC.（2）通过证明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1来证得A1C⊥平面AB1C1.【详解】证明：（1）易知<>=120°，=+，则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为·=(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.19、（1）动点的轨迹的方程为；（2）的取值范围.【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.【小问1详解】由题知故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上则动点的轨迹的方程为：；【小问2详解】故即.设：，联立（*），，∴，，又则：即若，则过，不符合题意故，∴，故20、（1）；（2）.【解析】（1）设出圆的一般方程，根据的坐标满足圆方程，待定系数，即可求得圆方程；（2）根据（1）中所求圆方程，结合弦长公式，即可求得结果.【小问1详解】设圆M的方程为，因为都在圆上，则，解得，故圆M的方程为，也即.【小问2详解】由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点M到直线的距离故.21、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】（1）由，变形为求解直线过的定点，即可得解；（2）法一：由圆心和连线与直线垂直求解；法二：由圆心到直线距离最大时求解.【小问1详解】解：，所以，令，所以直线经过定点，圆可变形为，因为，所以定点在圆内，所以直线和圆C相交，有两个交点；【小问2详解】法一：圆心为，到距离为，圆心与连线的斜率为，最短弦与圆心和的连线垂直，所以，所以最短弦长为，直线的方程为法二：圆心到直线距离：，，要求d的最大值，则，当且仅当时，d的最大值为，所以最短弦长为，直线的方程为.22、（1）（2）（3）【解析】(1)根据列举法列出所有的可能基