广东省湛江市达标名校2025届高二上数学期末质量检测试题含解析

广东省湛江市达标名校2025届高二上数学期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.32．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.643．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.8 B.16C. D.4．直线被椭圆截得的弦长是A. B.C. D.5．如果，，那么直线不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（）A.2 B.3C.4 D.57．圆C：的圆心坐标和半径分别为（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和8．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A. B.C.5 D.69．已知函数，则（）A.3 B.C. D.10．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.11．已知等差数列满足，则等于（）A. B.C. D.12．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________14．已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.15．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______16．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围19．（12分）已知函数f(x)＝（1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；（2）求证：20．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数（1）求直线和曲线的普通方程；（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求21．（12分）有时候一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同品牌的一些食品所含热量的百分比记为和一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数记为：食品品牌12345678910所含热量的百分比25342019262019241914百分制口味评价分数88898078757165626052参考数据：，，，参考公式：，（1）已知这些品牌食品的所含热量的百分比与美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数具有相关关系.试求出回归方程（最后结果精确到）；（2）某人只能接受食品所含热量百分比为及以下的食品.现在他想从这些食品中随机选取两种购买，求他所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数为分以上的概率.22．（10分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假2、B【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.3、C【解析】画出直观图，利用椎体体积公式进行求解.【详解】画出直观图，为四棱锥A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE两两垂直，故体积为.故选：C4、A【解析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长【详解】将直线y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为故选A【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题5、A【解析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设，直线可写成，又，，∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选：A.6、B【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案【详解】在等式中，令，可得，所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，因为，所以，化简得，，解得或（舍去），故选：B7、C【解析】先将方程化为一般形式，再根据公式计算求解即可.【详解】解：可化为，由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为故选：C8、D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故故选：D9、B【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值【详解】由题意，所以故选：B10、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.11、A【解析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值.【详解】因为得，因此，.故选：A.12、B【解析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据求出，由向量数量积得到，使用余弦定理得到方程组，求出，利用面积公式求出结果.【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：①，其中，即，因为，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，则的面积为.故答案为：14、【解析】由题意分别求出这三个平面的法向量，设直线的方向向量为，由直线与平面与的法向量垂直，得出，由向量的夹角公式可得答案.【详解】由，解得，即直线与平面的交点坐标为平面的方程为，可得所以平面的法向量为平面的法向量为，的法向量为设直线的方向向量为，则，即取，设直线与平面所成角则故答案为：15、-2【解析】由已知可得，即，计算即可得出结果.【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，所以，解得.故答案为：-2.16、3【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.【详解】由题可得抛物线的准线为，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，为.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解；（2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.【小问1详解】解：当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数的极大值为，无极小值；【小问2详解】解：若存在，使不等式成立，则，即，则问题转化为，令，，，当时，，当时，，所以函数在递增，在上递减，所以，所以.18、（1）（2）【解析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求，解不等式，即可求出m的范围.【小问1详解】当时，,定义域为R，.所以，.所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，即.【小问2详解】不等式可化为：，即存在，使得不等式成立.构造函数，则.①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.综上所述：m的取值范围为：.19、（1）y=5x－1；（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求切线方程（2）不等式化简为．设，求出导函数，判断函数的单调性求解函数的最值，然后证明即可【详解】解：（1）的定义域为，的导数由（1）可得，则切点坐标为，所求切线方程为（2）证明：即证．设，则，由，得当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，（1），即不等式成立，则原不等式成立20、（1），（2）4【解析】（1）根据，即可将直线的极坐标方程转化为普通方程；消参数，即可求出曲线的普通方程；（2）由题意易知，求出直线的参数方程，将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用，即可求出结果【小问1详解】解：直线极坐标方程为，即，又，可得的普通方程为，曲线的参数方程是(为参数，消参数，所以曲线的普通方程为【小问2详解】解：在中令得，，倾斜角，的参数方程可设为，即（为参数），将其代入，得，，设，对应的参数分别为，，则，，，异号，.21、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，从而求出回归直线方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有种，评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，，用列举法列出所有的可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【小问1详解】解：设所求的回归方程为，由，，，，所求的回归方程为：.【小问2详解】解：由表可知某人只能接受的食品共有种，其中美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，.任选两种分别为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件.记“所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此食品口味的评价分数为分以上”为事件，则事件包含，，，，，，