北京市丰台区第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 含解析

2024北京丰台二中高三10月月考数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共10题，每小题4分）1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解.【详解】由，得，结合，可知.故选：B.2.设复数z满足，则z在复平面内所对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定在复平面内对应的点所在象限．【详解】由，则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果.【详解】因为角的终边经过点，所以，故选：C.4.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答.【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A错误；对于B，当时，函数在上单调递减，B错误.对于C，函数在上单调递减，C错误；对于D，函数定义域为R，，故是偶函数，当时，在上单调递增，D正确；故选：D5.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解.【详解】由，，即，，故.故选：C.6.如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】，故，则.故选：A7.若函数的部分图象如图所示，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心，即可求得最小正周期，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值.【详解】由图可知，所以是的一个对称中心，由图象可得最小正周期满足：，则，又，所以，则由图象可得，，所以，，又，所以.故选：A.8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）A.0.25 B. C.0.89 D.【答案】A【解析】【分析】【详解】由题意可知：当，，时，，代入公式得：即，则.故选：A.【点睛】本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题.9.设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】假设，借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解.【详解】若，由，则，故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件；当，时，有，则有最小值，故“”不是“存在最小值”的必要条件；即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件.故选：A.10.已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.二、填空题（共5题，每题5分）11.函数的定义域是____________．【答案】【解析】【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解.【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得，所以函数的定义域是.故答案为：.12.数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______.【答案】①.8②.【解析】【分析】由等比数列的性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果.【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列，所以，即，解得；所以，故答案为：8，.13.已知菱形的边长为，，，则_________________.【答案】【解析】【分析】利用向量的线性运算得到，，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果.【详解】因，所以，又，所以，又菱形的边长为，，所以，故答案为：.14.设函数①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，______；②若在区间0,π上有且仅有两个零点，则的取值范围是______．【答案】①.（答案不唯一）②.【解析】【分析】根据变换法则得，则，取计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案.【详解】由题意可得，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，；若x∈0,π，则，有且仅有两个零点，则，解得，故的取值范围为.故答案为：（答案不唯一）；15.已知函数给出下列四个结论：①当时，存在最小值；②当时，存在唯一的零点；③的零点个数为，则函数的值域为；④当时，对任意，，.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】①根据指数函数、二次函数性质求最值判断；②由函数零点概念求解零点判断；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.【详解】①当时，，当时，在上单调递增，故的值域为；当时，在上单调递减，在上单调递增，，故的值域为；由知，无最小值，故①错误；②当时，，令得，所以有唯一的零点0，故②正确；③至多一个零点，至多有两个零点，当时，若，则由，可得或，故恒有两个零点；时，若，则存在一个零点；若，不存在零点，所以时，零点个数可能为2或3个；若，则，此时，即上无零点，而，故有一个零点，即；若，则，此时上，无零点，时，也无解，故无零点，即；综上，的值域为，故③正确；④当时，，则，所以，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.三、解答题（共6道题）16.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数平方和商数关系可求得，根据两角和差正切公式可求得结果；（2）利用二倍角正弦公式化简所求式子为正余弦的齐次式，由此可配凑成关于的式子来求解.【小问1详解】，，，，.【小问2详解】由（1）知：，.17.已知等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和．条件①：设；条件②：设．【答案】（1）；（2）选择条件①，；选择条件②，.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于首项与公比的方程，解出方程组即可求出通项；（2）若选择条件①，利用等差数列的前项和公式求和，若选择条件②，利用分组法求和.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得，所以；（2）选择条件①：，所以；选择条件②：，所以.18.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；（3）若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）时最小值为；时最大值为1；（3）.【解析】【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间；（2）由（1）及正弦型函数性质求最值即可；（3）问题化为与在区间上有两个交点，数形结合求参数范围.【小问1详解】因为，所以最小正周期为，又增区间为，令得：，所以单调递增区间为．【小问2详解】因为，所以．当，即时，取最小值；当，即时，取最大值1．【小问3详解】由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：由图知：，即.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，.（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；（3）N为AD中点，线段PC上否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为.【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）证明出，，，建立的空间直角坐标系，求得向量，平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）由平面PBA的一个法向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）设，则，则可得平面的一个法向量，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，则可得到点到平面BMN距离的范围，即可得到最大值.【小问1详解】因为平面，且平面，所以，，又因为，所以，因为与底面所成角为，所以，故，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，因为，，可得，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，可得，取，则，可得，设PB与平面PCD所成的角为，则，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.【小问2详解】根据题意，平面PBA的一个法向量，由（1）知，平面的一个法向量为，则，所以平面PBA与平面所成的锐二面角的余弦值为.【小问3详解】因为N为AD中点，所以，设，，则，解得，故，∴，设平面的法向量为，则，令，则，即，∵，∴点到平面距离为，当时，则，∴，当时取等号，则，综上，点到平面距离的取值范围的最大值为.20.已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设gx=fx−ax（1）求的解析式；（2）求函数在区间0,2上的最小值；（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；（2）根据，，分类讨论求解即可；（3）由题意，利用换元法求解函数的最小值，结合（2）中的最小值列不等式求解即可.【小问1详解】因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设.该函数的图象经过点，解得，所以.【小问2详解】因为，其对称轴方程为，当，即时，.当，即时，当，即时，综上所述，当时，，当时，，当时，.【小问3详解】若对于任意，总存在，使得成立，等价于函数，因为，所以，所以当时，取得最小值当时，，所以，不成立当时，，所以，解得或，所以当时，，所以，解得，所以综上所述，a的取值范围是.【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题.21.已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若为连续可表数列，且，求证：．【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．（2）证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．【小问1详解】，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．【小问2详解】若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，，．【小问3详解】，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为，则所有数之和，，，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，（仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则