2024-2025学年新教材高中数学第2章函数复习课第2课时函数课后训练巩固提升含解析北师大版必修第一册

第2课时函数课后训练·巩固提升一、A组1.已知幂函数f(x)的图象过点2,22,则f(8)的值为A.24 B.28 C.22 D.解析:设f(x)=xα.∵函数f(x)的图象过点2,∴22=2α,∴α=-12,∴f(x)=∴f(8)=8-答案:A2.函数f(x)=1-x+2A.(-∞,0) B.(0,1]C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1]解析:要使函数f(x)有意义,需有1解得x≤1,且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1],故选D.答案:D3.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为()A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3解析:设f(x)=kx+b(k≠0),则f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,即kx-k+b=3x-5,∴k=3,b-k∴f(x)=3x-2.答案:B4.已知函数f(x)=x+1,x≥1,4x,x<1,且fA.2 B.23 C.2或43 D.2解析:结合函数的解析式分类探讨:当x≥1时,f(x)=x+1=3,得x=2,满意题意,当x<1时,f(x)=4x=3,得x=34,满意题意综上可得,x的值是2或34答案:D5.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关解析:因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-a2=b-a24中取,所以最值之差肯定与b无关答案:B6.函数f(x)=x+1x的定义域是解析:由x+1≥0,x≠0,得x≥-∴函数f(x)=x+1x的定义域为[-1,0)∪(0,+∞答案:[-1,0)∪(0,+∞)7.设函数f(x)=(x+1)(x+a)解析:因为函数f(x)=(x+1所以f(-x)=-f(x),即(-x整理,得(a+1)x=0,所以a+1=0,得a=-1.答案:-18.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)推断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)推断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.解:(1)因为函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,则m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2.(2)函数f(x)为偶函数.证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为对于定义域内的随意x,都有f(-x)=(-x)-2=1(-x)2=1x故函数f(x)=x-2为偶函数.(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x=x2∵x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x12∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.二、B组1.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是()解析:由于函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集,即(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数y=f(x)·g(x)的图象在x=0处是断开的,故可以解除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)>0,且g(x)<0,则f(x)·g(x)<0,可解除B,故选A.答案:A2.若定义在R上的函数f(x)满意:对随意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法肯定正确的是()A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数解析:设x1=x2=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)=-1,令x1=x,x2=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(x)+1+f(-x)+1=0,即f(-x)+1=-[f(x)+1],∴f(x)+1为奇函数.答案:C3.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是___________________.

解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),故x[f(x)-f(-x)]=x[f(x)-(-f(x))]=2xf(x)<0,由题图知,当x>0时,若0<x<3,f(x)<0,若x>3,f(x)>0.又因为f(x)为奇函数,所以当x<-3时,f(x)<0,当-3<x<0时,f(x)>0.而不等式2xf(x)<0可化为x>0即0<x<3或-3<x<0,故不等式的解集为(0,3)∪(-3,0).答案:(0,3)∪(-3,0)4.已知函数f(x)=axx2-1(a≠0,x∈(1)探讨f(x)的单调性;(2)若a=1,求f(x)在区间-12解:(1)设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=ax1x12∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(-1,1)上单调递增.综上所述,当a>0时,f(x)在区间(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x)在区间(-1,1)上单调递增.(2)当a=1时,f(x)=xx2-1,由(1)知f(x)故f(x)的最大值为f-12=23,最小值为5.已知一元二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+2m+1图象的上方,试确定实数m的取值范围.解:(1)由题意设f(x)=a(x-1)2+1(a>0),将点(0,3)的坐标代入,得a=2,所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.(2)由(1)知函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以2a<1<a+1,所以0<a<12即实数a的取值范围为0,(3)f(x)-2x-2m