2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积课时作业含解析北师大版必修2

PAGE第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，所以a＝4，所以正方体的体积为a3＝64.答案：B2．如图是一个简洁空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则空间几何体的体积是()A.eq\f(4\r(2),3) B.eq\f(4\r(3),3)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(8,3)解析：由所给三视图的主视图与左视图是正三角形及俯视图是正方形及其对角线知，该几何体是一个正四棱锥，且主视图的三角形是过正四棱锥的高与斜高的三角形．由该三角形是边长为2的正三角形知，该四棱锥的高为eq\r(3)，底面边长为2，故V锥＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(4\r(3),3).3．圆台的上、下底面半径分别是2,4，高为3，则该圆台的体积是()A．28π B．6＋2eq\r(2)C．20π D．6π解析：V＝eq\f(1,3)π×3×(4＋2×4＋16)＝28π.答案：A4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8解析：由三视图可知此几何体是底面为梯形的直四棱柱，S底面＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3(cm2)，h＝2cm，∴V柱＝Sh＝6cm3.答案：C5．已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．解析：V＝eq\f(1,3)×62×8＝96.答案：966．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3eq\r(3)，则a＝________.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×(eq\f(1,2)×2×a)＝3eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝eq\r(52－32)＝4.∴其体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×32×4＝12π.答案：12π8.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D解析：设AC＝a，CC1＝b，则BD2＝DCeq\o\al(2,1)＝a2＋eq\f(1,4)b2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)9．正四棱锥的底面对角线长为6eq\r(2)cm，高为4cm，求其体积．解析：设正四棱锥的底面边长为acm，则eq\r(2)a＝6eq\r(2)，解得a＝6，所以底面积S＝36(cm2)，所以正四棱锥的体积为eq\f(1,3)×36×4＝48(cm3)．10．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积．解析：如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r.∵S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝eq\r(\f(S,6π)).∴内接正四棱柱的底面边长a＝2rsin45°＝eq\r(2)r.∴V正四棱柱＝S底·h＝(eq\r(2)r)2·2r＝4r3＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(S,6π))))3＝eq\f(\r(6πS),9π2)·S，即圆柱的内接正四棱柱的体积为eq\f(S\r(6πS),9π2).[B组实力提升]1．(2024·天津河西一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．π＋eq\f(\r(3),3) B．2π＋eq\f(\r(3),3)C．2π＋eq\r(3) D．π＋eq\r(3)解析：由三视图知该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，上面是一个三棱锥，如图所示，三棱锥D­ABC中，AC是圆柱底面的直径，点B在底面圆周上，O是圆心，则该几何体的体积为π×12×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×eq\r(22－12)＝π＋eq\f(\r(3),3).故选A.答案：A2.如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1CA．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴体积比为1∶2∶4.答案：C3．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，由已知得∠BAC＝90°，所以V几何体＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC·AA′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×8))×8＝96.答案：964．如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的体积．解析：直观图为一个正四棱台，如图所示．AB＝10cm，A1B1＝6cm，棱台的高h＝8cm，棱台的体积V台＝eq\f(1,3)×(100＋36＋eq\r(100×36))×8＝eq\f(1568,3)(cm3)．5．已知一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq\f(1,3)πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2h.依据题意，有eq\f(1,3)πR2h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2h，解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再依据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相像三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.6．已知正四面体ABCD(图(1))，沿AB、AC、AD剪开，展成的平面图形正好是图(2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1A(1)求证：AB⊥CD；(2)当A1D＝10，A1A2＝8时，求四面体ABCD解析：(1)证明：在四面体ABCD中，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD＝A))⇒AB⊥平面ACD⇒AB⊥CD.(2)在图(2)中，作DE⊥A2A3交A2A3于∵A1A2＝8，∴DE＝8.又∵A1D＝A3D＝10，∴EA3