2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价二十五第三章空间向量与立体几何3.1空间向量基本定理含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE二十五空间向量基本定理(15分钟30分)1．已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】选C.＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(＋)＝1.2．若{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为()A．eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B．－1，eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)C．eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)，1，eq\f(5,2)【解析】选A.由题意，得xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1，,x＋y－z＝2，,x－y＋z＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－1，,z＝－\f(1,2)．))3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝1，所以cos〈eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CD,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，所以异面直线a，b所成角是60°.答案：60°4．{a，b，c}为空间的一组基，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________.【解析】若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，所以a，b，c共面．这与{a，b，c}是基冲突，故x＝y＝z＝0.答案：0005．如图，四棱锥P­OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【解析】eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c；eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一组基，则()A．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 B．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线C．eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 D．O，A，B，C四点共面【解析】选D.由题意知，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，从而O，A，B，C四点共面．2．(2024·湛江高二检测)若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间一组基的关系是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【解析】选C.对于选项A，由结论eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；对于B，D选项，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有选项C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．3．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】选C.依据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝1，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，所以AB与CD所成的角为60°.4．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，则满意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为()A．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B．eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)C．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，－eq\f(1,6) D．－eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)【解析】选D.如图所示，取PC的中点E，连接NE，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－(eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列说法正确的是()A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一组基，则a，b共线B．空间的基有且仅有一组C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基D．基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}中基向量对应相等【解析】选AC.A项中若a，b不共线，则随意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一组基，A对；B项中空间基有多数组，B错；C项明显正确；D项中因为基不唯一，所以D错．6．已知在空间四面体O­ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则()A．eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cB．eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－cD．eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c【解析】选BC.eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b－a；eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c－eq\f(2,3)a；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(2,3)a；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－b.三、填空题(每小题5分，共10分)7．在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点．设＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))的结果是________．【解析】如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)＋＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)(a＋b)＋(a＋c)＝eq\f(3,2)a＋b＋c.答案：eq\f(3,2)a＋b＋c8．如图，直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．则CE与A′D的位置关系为____；异面直线CE与AC′所成角的余弦值是______．【解析】设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，＝c，依据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.所以eq\o(CE,\s\up6(→))·＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.所以eq\o(CE,\s\up6(→))⊥，即CE与A′D垂直；因为＝－a＋c，所以||＝eq\r(2)|a|.又|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·(b＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，所以cos〈,eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2,\r(2)×\f(\r(5),2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2)＝eq\f(\r(10),10)，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).答案：垂直eq\f(\r(10),10)四、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋z，求x＋y＋z.【解析】(1)因为＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以A，E，C1，F四点共面．(2)因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)．所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3).所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).10．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉．【解析】设eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，正四面体的棱长为1，(1)因为eq\o(VD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(b＋c－5a)，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a＋c－5b)，eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a＋b－5c)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,36)(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝eq\f(1,36)(18a·b－9|a|2)＝eq\f(1,36)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18×1×1×cos\f(π,3)－9))＝0，所以eq\o(AO,\s\up6(→))⊥eq\o(BO,\s\up6(→))，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO两两垂直．(2)eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DV,\s\up6(→))＋eq\o(VM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)，所以|eq\o(DM,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)（－2a－2b＋c）))\s\up12(2))＝eq\f(1,2).又|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)（b＋c－5a）))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)·eq\f(1,6)(b＋c－5a)＝eq\f(1,4)，所以cos〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉∈[0，π]，所以〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4).1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OD,\s\up6(→))用a，b，c表示为________.【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，所以b－a＝－2(eq\o(OD,\s\up6(→))－c)，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c2．如图，三棱锥P­ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M随意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若eq\o(PD,\s\up6(→))＝meq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝neq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝teq\o(PC,\s\up6(→))，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,t)为定值，并求出该定值．【解析】连接AG并延长交BC于