圆的有关性质课件

圆圆的有关性质知识体系图圆的有关性质弧、弦的定义——圆的旋转不变性圆的对称性：轴对称、旋转对称、中心对称与圆有关的角及性质垂径定理及其推论四者关系定理要点梳理7.1.1圆的有关概念（1）圆的定义有两种方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（3）直径：经过圆心的弦叫做直径.要点梳理（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（6）优弧：大于半圆的弧叫做优弧.（7）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.（9）弓形：由弦及所对的弧组成的图形叫做弓形.（10）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.（11）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.要点梳理7.1.2垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点梳理7.1.3圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.要点梳理7.1.4圆周角定理及推论（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.（2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.要点梳理7.1.5圆内接四边形（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.（2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.要点梳理7.1.5圆内接四边形（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.（2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.要点梳理【例1】如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=

35

度.【解析】∵OA=OB=OC，∴∠OAB=∠B，∠C=∠OAC.∵∠AOB=40°，∴∠B=∠OAB=70°.∵CD∥AB，∴∠BAC=∠C，∴∠OAC=∠BAC=0.5∠OAB=35°.要点梳理【例2如图，在⊙O中，点C是

的中点，∠A=50°，则∠BOC=（A）A.40°B.45°C.50°D.60°【解析】(1)∵OA=OB，∠A=50°，∴∠B=50°，∴∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°.∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOC=0.5∠AOB=40°.要点梳理【例3】如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为

cm.【解析】如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，∵OC⊥AB，∴AD=DB=0.5AB=20，∠ADO=90°，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴R2=202+(R﹣10)2，∴R=25．故答案为25．要点梳理【例4】如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°,∠B=30°，则∠ADC的度数为

110°.【解析】∵∠A=50°，根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=100°，而∠BOC是△BOD的一个外角，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ADC=180°-∠BDC=180°-70°=110°.要点梳理【例5】（2016年南京）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则∠ACB=

119

°.【解析】由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半，所以，与∠AOB所对同弧的圆周角度数为0.5∠AOB＝61°，由圆内接四边形对角互补，得：∠ACB＝180°－61°＝119°。要点梳理圆与圆有关的位置关系知识体系图与圆有关的位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系相交相切相离切线的性质、判定切线长及性质要点梳理7.2.1点与圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r；（2）点在圆上d=r；（3）点在圆内d<r.要点梳理7.2.2直线与圆的位置关系（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和圆相交.（2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：①直线和圆相离d>r；②直线和圆相切d=r；③直线和圆相交d<r.要点梳理7.2.3圆的切线（1）切线的判定方法：①用定义判断；②用等价条件判断；③用定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径；推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.要点梳理【例1】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A.E、F、GB.F、G、HC.G、H、ED.H、E、F经典考题【解析】设小正方形的边长为1.由点在图形中的位置和勾股定理可知，OG=1，OE=OF=2，OA=12+22=5，OH=，∴OG<OE=OF<OA<OH，∴需要被移除的树是E、F、G.经典考题【例2】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交

于点F，交过点C的切线于点D.（1）求证：DC=DP；（2）若∠CAB=30°，当F是

的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.经典考题【解析】(1)如图1，连接OC,∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD∴∠OCD=90º，∴∠DCA=90º－∠OCA.又PE⊥AB，点D在EP的延长线上，∴∠DEA=90º，∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC.∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC.∴∠DCA=∠DPC，∴DC=DP.图1经典考题（2）如图2，四边形AOCF是菱形.连接CF、AF，∵F是的中点，∴

=，∴AF=FC.∵∠BAC=30º，∴=60°，又AB是⊙O的直径，∴=120°，∴==60°，∴∠ACF=∠FAC=30º.∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=30º，∴△OAC≌△FAC(ASA),∴AF=OA，∴AF=FC=OC=OA,∴四边形AOCF是菱形.图2经典考题【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF.（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值.经典考题【解析】（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线.经典考题（3）如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC2=AD•DE，∵AC=DE，∴设DE=x，则AC=x，则AC2﹣AD2=AD•DE，即，解得AD=4x或AD=-5x（舍去）.故tan∠ABD=tan∠ACD=经典考题圆与圆有关的计算知识体系图与圆有关的计算正多边形和圆弧长、扇形面积的计算圆锥的侧面积、全面积的计算圆的内接正多边形圆的外切正多边形要点梳理7.3.1正多边形和圆（1）正多边形各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.注意：正多边形是轴对称图形，n边形有n条对称轴；边数为偶数的正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形的中心.（2）正多边形和圆有关的概念一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.要点梳理（3）正多边形的有关计算：①边长：an=2Rn·sin180°/n②周长：Pn=n·an③边心距：rn=Rn·cos180°/n④面积：Sn=

an·rn·n⑤内角：⑥外角：⑦中心角：（Rn为正多边形的半径，rn为边心距，an为边长）要点梳理7.3.2圆的周长与弧长公式圆的周长：若圆的半径是R，则圆的周长C=2πR.弧长公式：若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长要点梳理7.3.3扇形的面积公式对于半径是R，圆心角是n°的扇形的面积是对于弧长是l，半径是R的扇形的面积是要点梳理7.3.4圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积S侧=πrl.全面积S全=πr（a+r）.要点梳理【例1】（2016年威海）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为

.经典考题【解析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，∴AC是直径，AC=4，∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=0.5∠CEF=30°，∴OM=，EM=，∴EF=.故答案为.经典考题【例2】如图，□在ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则FE的长为（

）A.B.C.D.经典考题【解析】连接OE、OF，由切线和平行线的性质可知∠AOE=90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C=60°，∴△AOF是等边三角形，∴∠EOF=90°-60°=30°，OF=OA=0.5AB=6.由弧长公式，得lFE==π.经典考题【例3】（2016年宁波）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（

）A.30πcm2B.48πcm2

C.60πcm2D.80πcm2【解析】圆锥的母线长为：=10(cm)，圆锥的底面圆周长为2×π×r=12π(cm).圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形面积公式可得S=0.5×12π×10=60π(cm2).经典考题Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounder