江苏省苏州市苏州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试卷

苏州外国语学校2024-2025学年第一学期10月阶段性检测卷高二数学总分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为A.B. C. D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.在四面体中，，，，为△ABC的重心，在上，且，则（）A.B.C. D.4.已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（

）A. B.48 C.36或48 D.或485.若直线与直线的交点在第一象限，则直线的倾斜角取值范围是（

）A．B．C．D．6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（

）A． B． C．4D．27.如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B. C.D.8.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（）A.B. C.D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．9.下列说法正确的是（

）A.若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.当点到直线的距离最大时，的值为D.已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是10.已知点，，且点在直线：上，则（

）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.的最小值为 D.若，则的最小值为211.如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在线段，使平面平面C.G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小D.若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量.若,则的值是________.13.的顶点坐标分别为、、则角的平分线所在的直线方程为________.(用一般式表示)14.直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为．

四.解答题15.（13分）已知平面内两点，．（直线方程最后结果用一般式表示）(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程；(3)已知直线过点，且点到的距离为，求直线的方程．16.（15分）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．（15分）在斜三棱柱中，，，.证明：在底面上的射影是线段的中点；(2)求直线与平面所成角的余弦值．18.（17分）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.(1)若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；(2)若，求的面积的最大值；(3)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.19.（17分）如图，直角梯形ACDE中,、M分别为AC、ED边的中点，将△ABE沿BE边折起到△A'BE的位置，N为边A'C的中点．(1)证明：MN∥平面A'BE；(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面NBM与平面BEDC夹角的正切值．参考答案和解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为A． B． C． D．【解答】解：直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为，直线的斜率为，直线在轴上的截距为3，直线的方程为，即．故选：．2.“”是“直线和直线平行”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围．【解答】解：当时，两直线分别为：，，两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则或，综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．故选：．3.在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【详解】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以，所以，因为，，，所以，故选：C.4．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（

）A． B．48 C．36或48 D．或48【答案】D【解析】将改写为，因为两条直线平行，所以．由，解得或，所以或48．故选：D.5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为，直线的斜率，此时倾斜角为；直线的斜率不存在，此时倾斜角为；所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（

）

A． B． C．4 D．2【答案】C【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.7.如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】取的中点为，连接因，所以，因为平面平面，平面平面，平面所以平面因为，所以如图建立空间直角坐标系，则所以所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A8.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因正三棱柱的所有棱长均为1，则，，因动点P在线段上，则令，即有点，，，，因此点P到直线的距离，当且仅当时取等号，所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：C二．多选题9.下列说法正确的是（

）A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．当点到直线的距离最大时，的值为D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ACD【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对；对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错；对于C选项，将直线方程变形为，由可的，所以，直线过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大时，因为，则，C对；对于D选项，如图，，，所以由图可知，或，则斜率的取值范围是，D对.故选：ACD.10．已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．若，则的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

故选：BCD11．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（）．A.三棱锥的体积为定值．B.存在线段，使平面平面．C.G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小．D.若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是．【答案】ACD【解析】易知侧面，所以上的点到侧面的距离始终不变，即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积，故A正确；如图所建立的空间直角坐标系，则,可设，则，设平面的一个法向量为，则，取，即，显然，若平面平面，则，此时G不在线段上，即B不成立；易知，设直线与所成角为，则，显然时，，即取得最小值，此时，故C正确；如图所示，要满足题意需G靠C近些，过G作，延长交延长线于I，连接IN交AB于M，设，易知，所以，由，所以D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量5，，1，2)，若平面ABC，则x的值是______．【答案】【详解】平面，存在事实，使得，，解得．故答案为．13.△ABC的顶点坐标分别为A(4，3)，B(-2，-5)，C(8，0)，则角A的平分线所在的直线方程为________.14．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为．

【答案】/【详解】

取交点于点，因为直四棱柱的所有棱长都为，所以，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以A3,0,0，，，，，，设平面的法向量为n=x则有，令，则，，所以，因为点在四边形及其内部运动，所以设，，又因为，所以，即，则，设点到平面的距离为，则有，又因为，所以时，，即点到平面的距离的最小值为.故答案为：.四.解答题15．已知平面内两点，．(1)求过点且与直线垂直的直线的方程．(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．（3）已知直线l过点A,且点B到l的距离为4，求直线l的方程．【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，即．····································5分（2）的中点坐标为，由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，即．因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以点在直线上，故设点为，由可得：，解得或，·······························10分所以点坐标为或，则直线的方程为或．···············13分（3）或16.如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．【小问1详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，又不在同一条直线上，.【小问2详解】设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.17.在斜三棱柱中，，，.(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点；(2)求直线AC1与平面所成角的余弦值．【详解】（1）法一：取线段的中点，连接，由题意，故，则，于是，而，则，为等边三角形且为的中点，故，∵，且面，则面，面，∴，∵且为的中点，∴，又，，且面，∴面，面，则，又，且面，∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；法二：取线段的中点，设，，，由题意得，，故，由，故，则，∵，，∴，代入化简，得，∵，∴，即，同理，又，面，∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；（2）法一：设，作平面，连接，

则即为直线AC1与平面所成角，在中，，，，∴，由（1）得，，∴，，由（1）易知：平面与之间的距离为1，由，则，解得，在中，，，直线AC1与平面所成角的余弦值为.法二：如图，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，故，设面的法向量，则，令，即，又，设线AC1与面所成角为且，则，，直线AC1与平面所成角的余弦值为.18．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；（2）若，求的面积的最大值；（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.【解析】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为，当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，的面积为，当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，令，解得，联立，可得，由得或，由得或，所以或．所以的面积令，则，则因为，所以当时，面积最小，此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.（2）下面用弧度表示角，设，则，由正弦定理得，所以，因此当即时，的面积的最大，最大值为.（3）因为，所以，所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①），当直线斜率存在时，即时，直线方程为，整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立），同时除以得③，又因为，所以代入③整理得，对于任意都成立，所以，解得，所以直线过定点，定点坐标为.19．如图，直角梯形ACDE中，、M分别为AC、ED边的中点，将△ABE沿BE边折起到△A'BE的位置，N为边A'C的中点．(1)证明：MN∥平面A'BE；(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面NBM与平面BEDC夹角的正切值．【详解】（1）取的中点，的中点