哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（北师版）

哈工大（深圳）实验学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图所示的物体，其主视图是（）A. B. C. D.2.若是方程的一个根，则方程的另一个根是（）A.3 B.4 C.﹣3 D.－43.如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（）A.10° B.20° C.30° D.40°4.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形5.如图，已知点D为ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（）A.1 B.2 C.3 D.46.在不透明袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（）A.20个 B.30个 C.40个 D.50个7.如图，中，，与交于点O，与，交于点N、M，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.C.且 D.且9.一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A.10% B.15% C.18% D.20%10.如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A.24 B.25 C.26 D.27二．填空题（每题3分，共15分）11.已知，则的值是___．12.若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为_____cm．14.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．15.如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形面积为______．三．解答题（共55分）16.解方程：（1）；（2）（用配方法解）；（3）．17.已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．18.某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查随机调查了某班所有同学最喜欢的节目每名学生必选且只能选择四类节目中的一类并将调查结果绘成如下不完整的统计图根据两图提供的信息，回答下列问题：最喜欢娱乐类节目的有______人，图中______；请补全条形统计图；根据抽样调查结果，若该校有1800名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．19.如图，在ΔABC中，∠ABC=90º，D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF（1）猜想四边形BDFG的形状，并说明理由（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的周长20.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？21.如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从点B开始沿边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1cm/s的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示的长；（2）当t何值时，与相似？22.（1）问题如图1，在四边形中，点P上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．

哈工大（深圳）实验学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图所示的物体，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可.【详解】解：从正面可以看到的平面图形是故选A【点睛】本题考查的是三视图，掌握三视图中的主视图是解本题的关键.2.若是方程的一个根，则方程的另一个根是（）A.3 B.4 C.﹣3 D.－4【答案】A【解析】【分析】设另一根为结合是方程的一个根，由根与系数的关系可得：从而可得答案．【详解】解：是方程的一个根，设另一根为即方程的另一个根是故选：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．3.如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（）A.10° B.20° C.30° D.40°【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，在△ABD中，∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，∴∠1＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．4.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【解析】【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．5.如图，已知点D为ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，然后AC-AE即可求得答案．【详解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD：AB=2：3，AE=6，∴AC=AE=9,∴EC=AC-AE=9-6=3．故选C．【点睛】本题考查平行截三角形相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似三角形的判定与性质是解题关键．6.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（）A.20个 B.30个 C.40个 D.50个【答案】A【解析】【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近，黑，白两种球共50个，即可确定出黑球个数．【详解】解：∵黑球的频率稳定在0.4附近，黑，白两种球共50个，∴黑球的个数约为：故选：A．【点睛】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．7.如图，中，，与交于点O，与，交于点N、M，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据可得，，，，，再根据相似三角形的对应边成比例逐项判断即可．【详解】解：∵，∴，，，∴，，，所以A、B、C正确；∵，∴，∴，∴，所以D错误．故选：D．8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．9.一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A.10% B.15% C.18% D.20%【答案】A【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1﹣x）2＝81，解得x1＝01＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．10.如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A.24 B.25 C.26 D.27【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据▱ALMN的面积，求出各边长的关系，最后得出面积.【详解】解：设EF=a，BC=b，AB=c，则PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ∴a=，∵▱ALMN的面积为50，∴bc+a2+(a-c)2=50,把a=代入化简求值得b+c=10,∴a=5,∴正方形EFGH的边长为5，∴正方形EFGH的面积为25，故选：B.【点睛】此题重点考查学生对于正方形和长方形的性质的理解，熟练掌握这两个性质是解题的关键.二．填空题（每题3分，共15分）11.已知，则的值是___．【答案】##【解析】【分析】直接根据比例的性质进行求解即可．【详解】解：∵，∴，，；故答案为．【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．12.若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．【答案】24【解析】【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为_____cm．【答案】2【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，再根据邻补角的定义求出∠AOB=60°，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=OA，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】在矩形ABCD中，OA＝OB＝AC＝×4＝2cm，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC＝＝＝2cm．故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．14.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．【答案】【解析】【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．15.如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为______．【答案】【解析】【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求．【详解】解：如图，连接OP．

由已知可得：．

∴四边形ONPM矩形．

∴，

在中，当时OP最短，即MN最小．

∵即

根据勾股定理可得：．∵∴∴即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为在中，根据勾股定理可得：∴∵∴∴在中∴∴故答案为：【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三．解答题（共55分）16.解方程：（1）；（2）（用配方法解）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解；（3）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【小问1详解】解：，，解得：；【小问2详解】解：，化系数为1，得，移项，得，配方，得，开方，得，解得，；【小问3详解】解：，移项，得，分解因式，得，或，解得，．17.已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．【答案】见解析【解析】【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点，∴，．∵，∴，即．在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．18.某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查随机调查了某班所有同学最喜欢的节目每名学生必选且只能选择四类节目中的一类并将调查结果绘成如下不完整的统计图根据两图提供的信息，回答下列问题：最喜欢娱乐类节目的有______人，图中______；请补全条形统计图；根据抽样调查结果，若该校有1800名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．【答案】（1）20、18；（2）详见解析；（3）720；（4）．【解析】【分析】(1)先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可得x的值；(2)根据(1)中所求结果即可补全条形图；(3)用总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例即可得；(4)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】被调查的总人数为人，最喜欢娱乐类节目的有，，即，故答案为20、18；补全条形图如下：估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有人；画树状图得：共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，读懂统计图，能从不同的统计图中发现必要的信息是解题的关键.本题还用到的知识点是：概率=所求情况数与总情况数之比．19.如图，在ΔABC中，∠ABC=90º，D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF（1）猜想四边形BDFG的形状，并说明理由（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的周长【答案】（1）四边形BDFG是菱形（2）周长为20【解析】【详解】解：（1）四边形BDFG是菱形．

理由：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵D为AC的中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BDFG是菱形，（2）∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，∴AC==10，∴DF=AC=5，∵四边形BDFG是菱形，∴BD=GF=DF=5，∴C菱形BDFG=4•BD=20．20.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元；【解析】【分析】本题为一元二次方程的典型应用，设每斤水果降价x元，则每天多售出200x斤，根据每日利润=每斤利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据每天至少售出260斤，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可确定x的值，此题得解．【详解】设这种水果每斤的售价降价x元，则(4－2－x)(100＋200x)＝300.解得x1＝1，x2＝.当x＝1时，每天的销量为300斤；当x＝时，每天的销量为200斤．因为为保证每天至少售出260斤，所以x2＝不合题意，应舍去．此时每斤的售价为4－1＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利30