21导数的概念（新）

主要内容教学要求一、理解导数的概念,会用定义对一些一、导数的定义二、导数的几何意义和物理意义三、函数的可导性与连续性的关系二、了解导数的几何意义和物理意义简单函数求导导数的概念三、知道可导与连续的关系一、引例1.切线问题圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.对一般曲线来说，能否把与曲线只相交于一点的直线定义为曲线的切线?一般曲线的切线定义.割线MN

的极限位置MT割线MN

的斜率切线MT的斜率(当时，2．瞬时速度设描述质点运动位置的函数为如果质点是匀速运动，则其速度为当时，如果极限的瞬时速度为

存在，时刻如果质点作变速运动，则到的平均速度为越小，

越接近时刻的瞬时速度．二、导数的定义

定义2-1设函数在点及其近旁有定义，存在,并称此极限为记作:则称函数若在点处可导,

在点的导数.即(1)如果不存在，内的每一点都可导，（2）如果函数在开区间称函数在开区间导数值构成的新函数称为导函数.处不可导．

若也称在无穷大

.记作:这时，对于开区间内的导数为内可导.的每一点，都对应着一个确定的导数,此时在点则称函数说明注意:（3）导数定义还有其它形式：若记若记当时，（4）导数反映的是函数在点处的变化率.涉及变化率的问题很多．

功关于时间的变化率（功率）

吨的某种材料的成本关于

的变化率（边际成本）曲线在点M

处的切线斜率作变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度用定义计算导数的步骤:例1解即解（1）戴婷（3）例2.

求函数的导数．（2）对一般幂函数例如，例3求函数的导数．解（1）（2）（3）例4其中极限特别地解（1）（2）（3）在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为即(左)在处的右导数,记作(左)定义2

.

设函数有定义,存在,单侧导数不存在,例如,在

x=0处函数在点存在可导的充分必要条件是三、导数的几何意义切线方程为法线方程为的斜率，即)(,tan)(0为倾角aa=¢xf0)()(表示曲线=¢xfyxf00))(,(处的在点xfxM切线)4(222p--=-xy)4(2222p-=-xy22cos'44pp=====xykxx线方程分别为于是所求切线方程和法所求切线的斜率为由导数的几何意义可知，解sin6=xy处的切线方程和法线方程.上点求曲线例00),,(yxA率为则曲线在该点的切线斜设切点为解的切线方程上平行于直线求双曲线例7,解此方程，所以因为切线平行于直线或得,切线方程为时，当,切线方程为时，当四、可导与连续的关系证有由连续函数的定义，可知.)(0连续在点xxf.)(0连续在点xxf反之不然．在

x=0处连续,

但不可导.0例如处连续但不可导．所以函数在0x=在连续．而再如,连续但不可导．事实上，01为方便起见，常称这种情形为有无穷导数（或导数为无穷大）．但所谓可导，仅指有有限导数，不包括无即函数在尖点不可导．几点说明：

1．可导性比连续性要求高．3．若¹,)(连续函数xf2．)()(00若xfxf+-¢¢，则称的尖点，为函数)(xf0x点穷大．1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.由定义求导数的三个