2023年《双曲线的几何性质(2)》教学设计

高中数学精编资源3/3《双曲线的几何性质(2)》教学设计必备知识学科能力学科素养高考考向1.双曲线及其标准方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象逻辑推理数学运算【考查内容】1.根据几何条件求出双曲线的方程2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题【考查题型】填空题、选择题、解答题为主2.双曲线的几何性质(1)数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模3.双曲线的几何性质(1)数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.双曲线及其标准方程2.双曲线的几何性质(1)3.双曲线的几何性质(2)直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,同时对双曲线几何性质的探究学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.双曲线及其标准方程2.双曲线的几何性质(1)3.双曲线的几何性质(2)【教学目标设计】1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质2.运用双曲线标准方程解决相关问题.【教学策略设计】本节课内容为推导双曲线标准方程、研究双曲线的性质,这部分内容类似于椭圆的学习,教学中可以与其类比讲解,让学生自己进行探究,得到类似的结论.在教学中,学生自己能得到的结论应该让学生自己得到,凡是难度不大,经过学习,学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,同时也有利于学生建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的数学思维和解决问题的能力.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.2.掌握双曲线的几何性质.难点1.推导双曲线的标准方程.2.双曲线方程的简单应用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、_________________________________________2.其他材料_____________________________________________________________四、教学活动设计(课时建议:1课时)教学导入师:本节课我们将继续学习利用双曲线的几何性质解决双曲线有关的问题.首先我们对已经学习过的椭圆和双曲线的标准方程、图形和性质进行对比总结,请填表.类型椭圆双曲线标准方程(a>b>0)(a>b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)图形顶点坐标(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)(±a,0)(0,±a)对称轴x轴、y轴焦点坐标(±c,0)(0,±c)(±c,0)(0,±c)对称中心(0,0)a,b,c的关系a2=b2+c2(a>b>0,a>c>0)c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)离心率且0<e<1且e>1渐近线方程不存在【设计意图】通过填表,对两种圆锥曲线进行对比总结,不仅使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,而且有助于本节教学目标的实现.师:前面学习双曲线定义时,我们进行过求双曲线标准方程的练习.在学习完双曲线的简单几何性质之后,我们再来看一组求标准方程的问题.【典型例题】由双曲线的几何性质确定标准方程例1根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点P(3,−),离心率e=;(2)与双曲线有共同的渐近线,且过点(−3,2);(3)经过P(−2,)和(,4)两点.【简单问题解决能力】在例1中,三个问题的焦点位置不明确,应先讨论焦点位置,再根据已知条件求解.对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解,对于(3)也可以设双曲线的一般式方程,省去分类讨论.通过例1提升简单问题解决能力.【师生互动,学生积极思考,独立完成】生解:(1)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别讨论如下:①若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为(a>0,b>0).由e=,得.①由点P(3,)在双曲线上,得.②又a2+b2=c2,结合①②,得a2=1,b2=.∴双曲线的标准方程为.②若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为(a>0,b>0).同理有,由点P(3,-)在双曲线上,得,解得b2=−(不合题意,舍去).故双曲线的焦点只能在x轴上,∴所求双曲线的标准方程为.【推测解释能力】通过例1,掌握根据双曲线的基本几何性质求标准方程的思路,提升学生数形结合及方程思想和推测解释能力.师:求双曲线标准方程时,一定要先区别焦点在哪个轴上,如果不确定要进行分类讨论.【少教精教】解决问题的过程中,教师提示解题思路,学生动手实践,在解决问题的过程中通过少教精教增长对知识的掌握运用能力.生解:(2)(方法一)由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x.①当所求双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为(a>0,b>0),由题意,得解得a2=,b2=4.双曲线的标准方程为.②当所求双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为(a>0,b>0),由题意可得此方程组无解,∴所求双曲线的标准方程为.【分析计算能力】同一个题目有不同的解法,从中选择简捷、自然的解题思路.培养学生分析计算能力及良好的解题习惯.师:因为不确定焦点在哪个轴上,所以进行了分类讨论,接下来我们换一个角度解决问题,看看是否可以避免分类讨论解决问题,不难发现(λ≠0)是一类双曲线,其渐近线方程是相同的,都是,那就可以设双曲线方程为(λ≠0),再加一个条件就能求出双曲线方程了.师解:(2)(方法二)∵所求双曲线与双曲线有共同的渐近线,∴设所求双曲线的方程为(λ≠0).将点(−3,2)代入,得(λ≠0),即λ=,∴双曲线的标准方程为,即为.【深度学习】通过典型例题,掌握双曲线的基本几何性质及其简单运用,掌握利用双曲线的几何性质求标准方程的思路.生解:(3)①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为(a>0,b>0).∵点P1(−2,),(,4)在双曲线上,∴解得(不合题意,舍去).②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为(a>0,b>0).将点P1,P2的坐标代入上式得解得即a2=9,b2=16.∴所求双曲线的标准方程为.师:第(3)题也是因为不确定焦点在哪个轴上,所以进行了分类讨论,如果我们换一个角度思考,如何设方程可以避免分类讨论.师解:(3)(方法二)∵双曲线的焦点位置不确定,∴设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),将点P1和P2的坐标分别代入该方程,则解得∴所求双曲线的标准方程为.师:通过例1题,你能总结出求双曲线标准方程的方法和步骤吗？【学生总结,教师补充后进行多媒体展示】【以学定教】利用两种方法求双曲线的标准方程,让学生比较两种方法的不同之处,从而引出双曲线的一般式方程,让学生体会一般式简化解题步骤和省去讨论的优越性.【方法策略】求双曲线标准方程的方法与步骤1.求双曲线标准方程的两个关键点2.用待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是有两种可能.(2)设方程:根据焦点位里,设其方程为或(a>0,b>0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+y2=1(mn<0).(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可得(求)标准方程.3.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线方程为(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.【概括理解能力】通过典例解析,归纳基本题型,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和求双曲线标准方程的不同方法,提升概括理解能力.探究2求双曲线的离心率师:接下来,我们来求双曲线的离心率.【典型例题】求双曲线的离心率例2已知双曲线C的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,且△BA1A2是一个等边三角形,求双曲线C的离心率.【分析计算能力】通过例2,掌握求双曲线离心率的方法,进一步体会方程和数形结合的思想方法在解析几何中的应用,在解决例2的过程中提升分析计算能力.【教师提示思路,同学们积极思考,独立完成】师:求离心率的突破点就是通过已知条件结合双曲线的几何性质,建立a,b,c的等式关系来求解比值.生解:设O为坐标原点,则|AO|=|A2O|=a,|BO|=b,因为△BA1A2是等边三角形,所以b=a,所以c2=a2+b2=a2+(3a)2=4a2,所以c=2a,从而e==2.师:下面进行巩固练习.【巩固练习】求双曲线的离心率已知A,B为双曲线C的左、右顶点,点M在C上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,求C的离心率.【深度学习】在焦点三角形中求解双曲线的离心率.考查了学生对双曲线的定义和离心率公式的深度理解和运用情况.【同学们积极思考,独立完成,教师进地个别指导】生解:设双曲线C的方程为(a>0,b>0).如图所示,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△BMN中,因为|AB|=|BM|,∠ABM=120°,所以|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为M(2a,a),代入双曲线方程得a2=b2,所以e=.师:下面我们总结一下求双曲线离心率(取值范围)的方法与技巧.【以学定教】通过例题总结求双曲线离心率的常规方法和技巧,升华双曲线几何性质的灵活应用,提高学生的学习效果.【方法策略】求双曲线离心率(取值范围)的方法与技巧1.求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出求出a,c,再计算e=;(2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解;另一种方法是消去c转化成含的方程,求出后,利用求离心率.2.求离心率的取值范围一般是根据条件建立a,b,c的不等式,通过解不等式得或的范围,再求得离心率的取值范围.探究3求双曲线的渐近线师:下面是一道关于双曲线渐近线的例题.【典型例题】求双曲线的渐近线例3如图,已知F1,F2,为双曲线(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.【发现创新能力】学生经历观察,类比解决双曲线离心率问题的方法,寻找求渐近线的方法,培养学生发现规律,寻求方法,总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生真正理解自己总结出来的知识,从而达到形成技能的目的.提升发现创新能力.【教师点拨思路,学生独立完成,教师予以肯定】师:可根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义得a,b的关系,进而求得渐近线方程.生解:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),则,解得.∴.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|PF1|=2|PF2|.①由双曲线的定义,得|PF1|−|PF2|=2a.②由①②,得|PF2|=2a.∵|PF2|=,∴2a=,即b2=2a2.∴.∴双曲线的渐近线方程为y=±x.师:下面巩固练习一下.【意义学习】通过解决例3,得到寻求a和b之间的关系是求解渐近线方程的思路.学生在解题过程中要善于发现规律,寻找解决问题的方法.【巩固练习】求双曲线的渐近线已知双曲线C的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F1,F2,虚轴的一个端点为A,若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形.求双曲线C的渐近线方程.【分析计算能力】通过巩固练习,掌握求渐近线的方法,发现与求离心率是同一个思路,进一步体会方程和数形结合的思想方法.提升分析计算能力.【学生独立完成,教师进行个别指导,并进行点评总结】生解:由题意可知,分双曲线焦点在x轴、y轴上两种情况求解,如图(1)(2)所示.若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形,可得,所以,即a2+b2=3b2,a2=2b2,解得或.所以双曲线的渐近线方程为y=±x或y=±x.师:下面我们总结一下与双曲线渐近线有关的问题及解决方法.【概括理解能力】总结归纳,把方法系统化,形成数学能力.启发引导学生进行归纳整理,培养学生概括理解能力.【方法策略】与双曲线渐近线有关的问题及解决方法1.双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程.2.若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线方程,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决.(1)分两种情况设出方程进行讨论.(2)依据渐近线方程,设出双曲线方程m2x2−n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可.这样可以避免讨论.3.有共同渐近线的双曲线的方程.与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为(λ≠0).若λ>0,则实轴在x轴上;若λ<0,则实轴在y轴上,再依据题设条件可确定λ.探究4双曲线中的最值问题师:在双曲线的几何性质中,涉及了一些不等关系,如双曲线上点的坐标的取值范围、离心率的取值范围等,经常被用来处理与双曲线相关的范围和最值问题.如求双曲线上一点到焦点的最短距离,可以考虑结合双曲线上点的坐标的取值范围来处理.【综合问题解决能力】解决与双曲线有关的不等关系,就是双曲线的几何性质的综合应用,让学生体会解题的本质,降低思维难度.提高自我获取知识和解决综合问题的能力.【典型例题】双曲线中的最值问题例4已知双曲线(a>0,b>0)的左焦点为F,且P是双曲线上的一点,求|PF|的最小值.生解:记双曲线的焦距为2c,则F(−c,0),而且c=.设P(x,y),则|PF|2=(x+c)2+y2,又因为P是双曲线上一点,所以,则y2=−b2+,因此|PF|2==.注意到x≤−a或x≥a,而且0>=>−a,所以,当x=−a时,|PF|2最小,且最小值为.【自主学习】学生自主解决双曲线上的点到焦点的距离问题,锻炼了学习的主观能动性.师:从这个例题说明,双曲线上的所有点中,到给定焦点距离最小的点,是离该焦点距离最近的实轴的端点.师:好的,同学们回忆一下,本节课的重点概念.生:本节课对双曲线的几何性质进行了进一步的应用,对求标准方程、离心率、渐近线以及最值问题进行了练习,对双曲线性质进行了很好的巩固.师:非常好！也请同学们在处理双曲线问题时,注意以下几点.【设计意图】教师引导学生进行课后小结,使得学生再认识了本节课所学知识点,加深学生记忆,促进对双曲线的定义、标准方程和几何性质的理解与应用,培养了学生的归纳总结能力.【课堂小结】双曲线的几何性质(2)1.如果涉及双曲线两焦点距离时,可以考虑双曲线的定义.2.要注意焦点的位置带来的影响.3.求双曲线的标准方程时,要注意待定系数法的使用.4.离心率是比值,在求解时注意关于a,b,c的关系式.5.已知双曲线的渐近线方程,可以使用(λ≠0)来求解双曲线的标准方程.教学评价双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,我们是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习规律,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.应用所学知识,完成下面各题:1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点(3,);(2)a=b,经过点(3,−1);(3)过点P(3,−),离心率为;(4)与椭圆有公共焦点,且离心率.【设计意图】学生在掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.灵活运用双曲线的定义、方程、性质、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,提高学生的数学核心素养.解析:本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程,首先根据条件判断双曲线的焦点的位置然后设定方程,最后寻找a,b的关系并求解其中,与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.(1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2.设双曲线的标准方程为.则有,将点(3,)代入方程得,解得.故所求双曲线的标准方程为.(2)当焦点在x轴上时,可设双曲线的方程为x2−y2=a2,将点(3,−1)代入,得32−(−1)2=a2,所以a2=62=8.故所求的双曲线的标准方程为.当焦点在y轴上时,可设双曲线的方程为,将点(3,−1)代入,得(−1)2−32=a2,a2=−8(舍去),所以焦点不可能在y轴上.综上,双曲线的标准方程为.【分析计算能力】从基础入手,通过评价练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式,以及各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.培养分析计算能力.(3)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为,∵e=,∴,即a2=b2.①又双曲线过P(3,−),∴,②由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为,同理有a2=b2,③,④由③④得a2=b2=−4(舍去).综上,双曲线的标准方程为.【简单问题解决能力】通过设计不同层次的习题,让学生能够理解并运用双曲线的几何性质,解决简单的双曲线问题;也让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣的目的.培养简单问题解决能力.(4)由椭圆方程知,,所以椭圆的焦点是F1(−,0),F2(,0).因此双曲线的焦点为(−,0),(,0).设双曲线的标准方程为,由已知条件,有,解得所以所求双曲线的标准方程为.2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场,如图所示,在△PEF中,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=−2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.【简单问题解决能力】通过双曲线实际应用的练习,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和利用双曲线的定义解决实际问题的基本步骤.发展学生简单问题的解决能力,提升数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.解析:本题主要利用特定系数法求解双曲线的标准方程.以EF所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设以E,P为焦点目过点P的双曲线方程为,焦点为E(−c,0),F(c,0).由tan∠PEF=,tan∠EFP=−2,设∠PFx=α