专题917矩形（直通中考）（基础练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.17矩形（直通中考）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（

）

A． B． C． D．2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（

）A．平分 B． C． D．3．（2023·上海·统考中考真题）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．（2023·河北·统考中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（

）

A． B． C．12 D．166．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（

）

A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变7．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．48．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（

）A．48° B．66° C．72° D．78°9．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（

）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EACC．AB＝4 D．AC＝2AB10．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（

）A．当时，四边形ABMP为矩形B．当时，四边形CDPM为平行四边形C．当时，D．当时，或6s填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·湖南郴州·统考中考真题）在中，，则边上的中线．12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则．13．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．14．（2018·黑龙江·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是矩形．15．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．16．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为．17．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为．18．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．

（1）在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）若，求的长．20．（8分）（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．（1）求证：；（2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．21．（10分）（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．（1）求证：；（2）若，求的长．22．（10分）（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．23．（10分）（2019·山东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．24．（12分）（2023·新疆·统考中考真题）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．

（1）求证：；（2）当时，求证：四边形是矩形．参考答案：1．B【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．解：由图可知，在中，，点D为边的中点，,故选：B．【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．2．C【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．解：由矩形的对角线相交于点，根据矩形的对角线相等，可得．故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．3．C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．解：A：，为平行四边形而非矩形故A不符合题意B：，为平行四边形而非矩形故B不符合题意C：∴∥四边形为矩形故C符合题意D：不是平行四边形也不是矩形故D不符合题意故选：C．【点拨】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．4．C【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解.解：∵矩形中，∴，∵F为的中点，，∴，在中，，故选：C.【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.5．B【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵，∴，∵中，点M是斜边的中点，∴，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．6．C【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意；B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意；C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．7．C【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．解：∵，平分，∴，∴，∵为的中点，∴，故选C．【点拨】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．C【分析】由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可．解：∵将一矩形纸片沿AB折叠，∴，，，，，故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．D【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，故此选项不符合题意．B，如图，由矩形的性质可以证明，∵是的垂直平分线，故此选项不符合题意．C，在中故此选项不符合题意．D，故此选项符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．10．D【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．解：由题意得PD=t，AP=ADPD=10t，BM=t，CM=8t，∠A=∠B=90°，A、当时，AP=10t=6cm，BM=4cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；B、当时，PD=5cm，CM=85=3cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，∴四边形ABCE是矩形，∴BC=AE=8cm，∴DE=2cm，当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，∴四边形CEFM是矩形，∴FM=CE；∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），∴PF=DE=2，EF=CM=8t，∴AP=104（8t）=10t，解得t=6s；当PM=CD，且PM∥CD时，∴四边形CDPM是平行四边形，∴DP=CM，∴t=8t，解得t=4s；综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．11．5【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可解：在中，，∴，∴边上的中线，故答案为：5．【点拨】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．或【分析】根据题意画出图形，分点在上和上两种情况讨论即可求解．解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴∴，如图所示，当点在上时，

∵，∴如图所示，当点在上时，

∵，∴，故答案为：或．【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．13．/【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=ABBE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴，所以，所以BE=EF=x，则AE=ABBE=3x，在直角三角形AEF中:，∴，解得，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．14．（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；解：若使▱ABCD是矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．故答案为：AC=BD（答案不唯一）【点拨】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．15．【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根据AB′=AB，再计算即可得到结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=∠DAB=90°，由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，∴△AB′D′是等腰直角三角形，∴AD=AD′=B′D′，由勾股定理得AB′=AD，又由操作二可知：AB′=AB，∴AD=AB，∴=，∴A4纸的长AB与宽AD的比值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．/【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH为等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四边形ADKF为矩形，∴DK=AF=4，FK=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周长最小为．故答案为：【点拨】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．17．【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=41=3，∴，即的最小值为．故答案为：【点拨】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．18．【分析】由矩形的性质得，，求出，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据求出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．解：四边形ABCD是矩形，，，，，，∴在中，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．19．（1）图见详解；（2）【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解；（2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解．（1）解：所作线段如图所示：

（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，即点O为的中点，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．20．（1）见分析；（2）矩形，证明见分析【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形．（1）解：证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴，，∵和的平分线、分别交、于点E、F，∴，，∴，在和中，，∴．（2）证明：∵，∴，，∴，∴，∵点G、H分别为、的中点，∴，，∴四边形是平行四边形∵，G为的中点，∴，∴四边形是矩形．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（1）证明见分析；（2）cm【分析】（1）利用ASA证明即可；（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF∠EDF=∠ADC∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=（cm）．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC