专题04走进图形世界平面图形的认识（一）（原卷版）

专题04走进图形世界、平面图形的认识（一）核心考点聚焦1、了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点；认识平面图形的平移、旋转、对称，认识和欣赏平移在自然界和现实生活中的应用，认识和欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形；2、会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单几何体；了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型；3、会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；掌握两个基本事实，理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离；4、理解角的概念、角平分线的意义，能比较角的大小；认识度、分、秒。会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；5、理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角（或补角）相等的性质；6、理解平行线、垂线、垂线段的概念，学会用尺规作图。走进图形世界一、几何图形1、定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形由组成。注：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等。2．分类：几何图形包括和(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等。(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。注：常见的立体图形有两种分类方法：3.棱柱、棱锥的相关概念：在棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做。棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点，棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）棱锥也是同理。注：（1）棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边，棱锥的侧面都是三角形。（2）长方体、正方体都是。（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形。4．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点。从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系。此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体。二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．注：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．三、主视图、左视图、俯视图一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图。注：一个物体的三视图由主视图、左视图和俯视图组成.其中，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示．

平面图形的认识（一）一、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为和．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表注：（1）联系与区别可表示如下：在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．二、角的概念及表示角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．注：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下注：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．三、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝°，1平角＝°，1°＝′，1′＝″．注：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB∠2．注：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．注：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．四、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为，简称，其中一个角叫做另一个角的．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为，简称，其中一个角叫做另一个角的．（2）性质：同角（等角）的余角．同角（等角）的补角．注：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．注：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（2）性质：对顶角．五、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．六、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．七、平行1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做.如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.注：（1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交.（2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点.（3）互相重合的直线通常看做一条直线.（4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.2.平行线的做法：小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画.如下图.3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.注：由基本事实可以推出下面的结论成立：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.八、垂线1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.注：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．注：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：．注：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做．注：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．考点剖析例1：如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（

）A． B． C． D．变式11：如图，一个高的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，表面积增加，小圆柱的体积是

变式12：18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一个有趣的关系式——欧拉公式．请你观察如图所示的几种简单多面体模型，回答下列问题．(1)根据上面的多面体模型，补全表格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44①_______长方体86②_______正八面体③_______812正十二面体201230顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________；(2)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面的三角形的个数为x，八边形的个数为y，求的值．例2：下面现象说明“线动成面”的是（

）A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹B．汽车雨刷在档风玻璃上面画出的痕迹C．天空划过一道流星D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线变式21：“力箭一号”运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功．把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了的数学事实．变式22：如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．

(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）．A．点动成线

B．线动成面

C．面动成体(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）例3：做最好的自己！小明同学将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“自”时，下面的字是（

）

A．做 B．最 C．好 D．己变式31：把正方体的六个面分别涂上白，黄，蓝，红，紫，绿六种不同的颜色，将上述大小相同，颜色分布一样的四个正方体，拼成一个平面放置的长方体，如图所示，则正方体中与白色面相对的面的颜色是．变式32：如图是一个长方体包装盒的展开图，长方体盒子的长是宽的2倍．(1)盒子展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则①与相对，②与相对；（只填序号）(2)若长方体的宽为，则长方体的长为多少？高为多少？（用含x的代数式表示）(3)当时，求这种长方体包装盒的体积．例4：如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（

）A． B． C． D．变式41：一个立体图形，从正面看到的形状是

，从左面看到的形状是

，这个立体图形最多由个小正方体搭成．变式42：如图是由一些相同的小正方体组成的几何体．(1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；(2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．例5：下列说法正确的有（

）①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线.A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③变式51：如图，已知B，M，C依次为线段上的三点，M为的中点，且，．若，则线段的长为．变式52：【问题探究】（1）如图，已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）．①若，分别是，的中点，则________；②若，，求的长．【方法迁移】（2）某校七年级（1）班购买校服统计情况如下，其中购买校服的女生人数是未购买校服的女生人数的2倍，购买校服的男生人数是全班男生人数的，若购买校服的男、女生共有32人，请直接写出该班学生的人数．例6：10点半时，钟表的时针与分针所成的角是（）A． B． C． D．变式61：如图，已知，，则．

变式62：已知O为直线上的一点，且为直角，平分．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，若射线在直线下方，平分，且，求的度数．例7：若与互余，，则的大小是（）A． B． C． D．变式71：如图，直线、相交于点O，平分，平分，且，则的度数为．

变式72：如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．例8：下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线变式81：如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有条．

变式82：如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图：

(1)过点A作；(2)在的外部，作，使．例9：下列说法正确的个数为（）①P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段；②P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段长；③过P点做直线l的垂线，垂足为O，P点到直线l的距离是P、O点两点之间的距离．A．3 B．2 C．1 D．0变式91：如图，直线、相交于，射线平分，，若，则；．变式92：已知：如图，直线与直线交点O，，平分．(1)如图1，求证：平分；(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．难点1：线段的双中点问题已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．(1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧，①如图，当点E为中点时，求的长；②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长；(2)若，，请直接写出与存在的数量关系．难点2：角的双角平分线问题点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．

图一

图二

备用图(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线．若时．则______，______；(2)如图二，过点作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）；②若，则的度数是______（直接填空）．(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是_____．（在草稿纸上画图分析．直接填空）难点3：线段新定义在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（，），M为线段AB的中点．给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”．例如，时，A是B的“正比点”；，时，A是B的“反比点”．(1)若，则M对应的数为______，下列说法正确的是______（填序号）．①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”；(2)若，且M是A的“正比点”，求的值；(3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．难点4：角的新定义【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．难点5：角的旋转角【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线上，，，，．三角板的顶点与另一个三角板的顶点重合在点O处，三角板的边与直线重合，三角板其它的边都在直线的上方．【实践探究】：（1）如图2，若三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板的边恰好分．①此时_____秒；②此时___________；【解决问题】：（2）如图2，在（1）的条件下，边恰好平分时，同一时刻三角板开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边与边第一次重合？（如图3）请说明理由；【拓展研究】：（3）如图3，在（2）的条件下，当边与