05挑战压轴题（解答题三）2

（挑战压轴题）2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（杭州专用）—05挑战压轴题（解答题三）1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．(1)如图1，若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，(2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，．求证：【答案】(1)5(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由中点定义可得AE=BE=2，从而可求BF=1，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积；（2）①根据余角的性质可证∠KEA=∠EFB②先证明△KHI≌△FGJ【详解】（1）解：∵AB=4，点M是边AB的中点，∴AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF∴正方形EFGH的面积为5．（2）解：①由题意知∠KAE=∴∠EFB+∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90∴∠KEA+∴∠KEA=∴△KEA∴KEEF∴EK=2EF=2EH．②由①得HK=HE=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∴△KHI设△KHI的面积为S1∵∠K=∠K，∠KHI=∠A=90°，∴△KHI∴S1∴S2【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．(1)求证：△ABG∽△(2)已知AB=a，AC=AF=b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．(3)已知点E在线段上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD=∠CBE，求证：BG2【答案】(1)见解析；(2)FG=a-b；【分析】(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似；(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由FG=AG-(3)要证BG2=GE⋅GD即证△DGB∽△BGE【详解】(1)因为AG平分∠BAC所以∠BAG=又因为∠G=所以△ABG∽△(2)由(1)，知ABAF因为AC=AF，所以AG=AB，所以FG=AG-(3)因为∠CAG=又因为∠BAG=所以∠BAG=因为∠ABD=所以∠BDG=又因为∠DGB=所以△DGB∽△所以GDBG所以BG【点睛】本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似．3．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．【答案】（1）32；（2）①见解析；②∠BAC＝【分析】（1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．（2）①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论．②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝12OA＝12，AE＝EB＝OE＝3∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝12AB＝3（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴FHBC＝OFOC＝同理OEBC＝1∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴EGGB＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．【点睛】本题考查了解直角三角形、直径的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并且灵活运用有关的性质定理．4．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D⑴若.①求证：OD=1②当OA=1时，求△ABC⑵点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m、n是正数），若∠ABC<∠ACB，求证：m【答案】（1）①见解析；②△ABC面积的最大值是343；（2【分析】（1）①连接OB，OC，由圆的性质可得答案；②先作AF⊥BC，垂足为点F，要使得面积最大，则当点A，O，D在同一直线上时取到再根据三角形的面积公式即可得到答案；（2）先设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由锐角三角形性质得到即，再结合题意及三角形内角和的性质得到两式联立即可得到答案.【详解】（1）①证明：连接OB，OC，因为OB=OC，OD⊥BC，所以∠BOD=12∠BOC=12×2∠所以OD=12OB=1②作AF⊥BC，垂足为点F，所以AF≤AD≤AO+OD=32，等号当点A，O，D由①知，BC=2BD=，所以△ABC的面积即△ABC面积的最大值是3（2）设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，因为△ABC是锐角三角形，所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，即（*）又因为∠ABC<∠ACB，所以∠EOD=∠AOC+∠DOC因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，所以（**）由（*），（**），得，即m【点睛】本题综合考查圆的性质、三角形内角和的性质勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质、三角形内角和的性质勾股定理.5．（2018·浙江杭州·中考真题）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）ED∥BF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知条件得到AE＝CF，根据平行四边形的性质得到∠DCF＝∠BAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCF＝∠BAE，在△ABE与△CDF中，∵，，AB=∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴ED∥BF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AD交⊙O于点E(1)求证：CD是⊙O(2)连接CE，若cosD=13，【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）如图所示，连接OC，连接AO并延长交BC于F，根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再证明AF⊥BC，得到∠ACF+∠CAF=90°，由OA=OC，得到∠OAC=∠OCA，由轴对称的性质可得∠ACB=∠ACD，即可证明∠ACD+∠OCA=90°，从而证明CD是⊙O（2）由轴对称的性质得∠B=∠D，CD=BC，再由圆内接四边形对角互补推出，∠CED=∠D，得到CE=CD=BC，解Rt△ABF，求出BF=2，则BC=2BF=4，即可得到【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，连接AO并延长交BC于F，∵AB=AC，∴∠ABC=∵△ABC内接于⊙O∴AF⊥∴∠ACF+∵OA=OC，∴∠OAC=∴∠ACF+由轴对称的性质可得∠ACB=∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠OCD=90又∵OC是⊙O∴CD是⊙O（2）解：由轴对称的性质得∠B=∠D，CD=BC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∴∠CED=∴CE=CD=BC，∵cosD=∴cosB在Rt△ABF中，∴BC=2BF=4，∴CE=BF=4．【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．(1)AB与⊙O的位置关系为_______(2)求证：AC是⊙O(3)如图2，连接DM，DM=4，∠A=96°，求⊙O的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin24【答案】(1)相切(2)见解析(3)9.8【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE=OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BOD=48【详解】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，∴圆心O到直线AB的距离等于圆的半径，∴AB为⊙O∴AB与⊙O故答案为：相切；（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，∵AB=AC，O为底边BC的中点，∴AO为∠BAC∵OD⊥AB，OE⊥∴OD=OE∵OD为⊙O∴OE为⊙O∴AC是⊙O（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，∵AB=AC，∠A=9612180∵OD∴∠∵OF12DM=2∵OD=OM，OF⊥∴OF为∠DOM12∠在Rt△∵sin∴OD=∴⊙O的直径=2OD=9.8．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2022·浙江杭州·校考二模）如图，锐角△ABC内接于⊙O，射线经过圆心O并交⊙O于点D，连结AD，CD，BC与AD的延长线交于点F，DF平分∠CDE．(1)求证：AB＝(2)若BC＝CF，求(3)若tan∠ABD=12，⊙O的半径为【答案】(1)见解析(2)3(3)6【分析】（1）由圆内接四边形的性质得∠CDF＝∠ABC，再根据DF平分∠CDE，从而说明（2）由圆周角定理知∠DCB=90°，则DB＝DF，再利用（3）利用tan∠ABD=12=ADAB，⊙O的半径为5【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O∴∠CDF=∵∠EDF=∴∠EDF=∵DF平分∠CDE∴∠CDF=∴∠ABC=∴AB=AC；（2）解：由题意可得，BD是⊙O∴∠DCB=90∴，又∵BC=CF，∴DC垂直平分线段，∴DB＝∴∠DBC=又∵DF平分∠CDE∴∠FDC=∴∠BDC=∴∠F=30∴cosF即∠F的余弦值为32（3）由题意可得，BD是⊙O∴∠BAD=90∴tan∠又∵⊙O的半径为5，∴BD=25∴AD＝由（1）可知，∠ADB=∴△BAD∴ABAF∴，∴AF=8，∴DF=AF-∴DF的长为6．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．4．（2023·浙江杭州·校联考一模）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE(1)求证：AE是⊙O(2)若AE=25，CD=8，求⊙O的半径和AD【答案】(1)证明见解析(2)⊙O的半径为6，AD=2【分析】(1)根据等边对等角得出，进而得出，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得结论；(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F，从而证得四边形是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径，即可求得ED的长，再根据勾股定理即可求得AD【详解】（1）证明：连接OA，∵OA=OD∴∠平分∠BDE，∴∠，∴EC∵AE∴OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O（2）解：如图：过点O作OF⊥CD，垂足为点∴DF=∵∠∴四边形是矩形，∴OF=AE=2∴OD=∴OA=EF=OD=6∴∴AD=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理，添加合适的辅助线是解题的关键．5．（2022·浙江杭州·校考二模）如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接AD、AC、CD，线段AD与直径BC相交于点E．(1)若∠ACB＝60°，求(2)当CD=①若CE=2，BC⋅CEAB=2②若CD＝1，CB＝【答案】(1)12(2)①45°；②1【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，首先得到直角三角形，然后求出∠B（2）①根据已知先求出BCAB的值，然后在直角三角形中利用cosB的值即可求出∠B，再利用圆周角定理得出∠B和∠COD的关系即可求出②利用已知容易得出∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE，进而得出【详解】（1）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC∵∠ACB∴∠B∵AC＝AC，∴∠ADC∴sin∠所以sin∠ADC的值为（2）解：①∵CE=2，BC∴BCAB∵∠BAC∴cos∠∴∠B∵CD＝AC，∴∠CAD∴∠COD即∠COD的度数为45°②∵CD＝AC，∵∠ADC＝∠COD，∴△OCD∴，∵BC＝∴OC＝∴，∴CE＝∴线段CE的长为12【点睛】本题综合考查了与圆有关的基本性质，并结合性质考查了锐角三角函数和相似三角形，题目的综合性较强，解题的关键是熟练掌握圆周角定理并灵活运用，掌握三角形相似的基本模型．6．（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．(1)求证：△AFG(2)求证：；(3)若正方形ABCD的边长为5，AE=2，求∠EAF的正切值和⊙O【答案】(1)见解析(2)见解析(3)tan∠EAF=【分析】（1）利用同角的余角相等证明∠FAG=∠FDC，利用圆内接四边形的性质证明∠AGF=（2）由△AFG∼△DFC可得AFDF=AGDC，由tan∠（3）利用tan∠ADE=tan∠EAF=AEAD【详解】（1）∵正方形ABCD，∴∠ADC=∠BAD=90°，AD=CD∴∠CDF+∵，∴∠AFD=90∴∠DAF+∴∠DAF=∵四边形GFCD是⊙O∴∠FCD+∵∠FGA+∴∠AGF=∴△AFG（2）∵△AFG∼△DFC，∴AFDF∵tan∠∴AEAD∴；（3）如图，连接．∵正方形ABCD的边长为5，AE=2，∴，AD=DC=5，∴，∴CG=C∵∠∴tan∵∠ADC=90∴是直径，∴⊙O的半径为12【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．7．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考二模）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC=BC，D，E是⊙O上的两点，连结DE交AB于G，交BC于．(1)如图1，连结AD，AE，DB，若∠CAD=10°，求∠AED的度数．(2)如图2，若DE⊥AB，求证：(3)若且AB=10，作DP⊥AE交AE于P，交CE于N，过D点作MD⊥DP交的延长线于M，当PD过圆心时，求出S△MDNS△NDE【答案】(1)55°(2)见解析(3)3【分析】（1）由AC=BC，得∠CAB=∠CBA=45°，又，可得，从而；（2）证明△CEH∽△DBH，可得，由垂径定理即得，（3）连接，由，可得∠BAE=30°，即有，，，又，DP⊥AE，即得，，由△MDN∽△EPN，知，故．【详解】（1）解：为⊙O的直径，，，∴∠CAB=CD=CD，，AD=AD；（2）证明：，∠CED=∠CBD，∴△∴，，∵DE∴DG=GE，，，；（3）解：连接，如图：AE=2BE，为⊙O的直径，∴∠，∴∠BAE=30，，，，DP⊥AE∴△PEN是等腰直角三角形，，，

，，∴△MDN∴，S△MDNS【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质8．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．(1)如图1，若，求线段DE的长．(2)如图2，若，求∠ABD的正切值．(3)连结BC，CD，DA，若BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正2n边形的一边，求△ACD的面积．【答案】(1)3(2)15(3)2【分析】（1）由知AD+CD=CD+BC，得AD=BC，根据OD⊥AC知AD（2）连接BC，AD，由题意易证△DFE∽△BCE，则有DFBC=DEBE=（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角的度数，从而求得BC=AD=2、OF=【详解】（1）解：连接OE，∵ODAD=CD，，又∵AC=BD，AC=BD即AD+AD=BCAD=CD∴∠AOD=60°，∠CAB=∠DBA=30°，∴，∵AB=2，，则AC=BD=2AF=3∴BE=OB∴DE=BD（2）解：如图1，连接BC，AD，为直径，OD⊥AC，∴∠DFE=∠AFO=∠C=∠ADB=90°，AF=FC=1∴OD∴∠∴△DFE∵，∴DF∵AF=FC=12AC∴OF=1设BC=2x,DF=3x，则OF=x，∴OA=OB=OD=DF+OF=4x，∴AF=O∴AD=A∴BD=AB∴tan∠（3）解：如图2，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正2n边形的一边，、，则，解得：n=4，、∠AOD=∠，，，则DF=OD-．【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．9．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点E是AD的中点，CF=3DF，连接并延长EF交BG的延长线于点G(1)求证：ΔABE∽ΔDEF；(2)若正方形的边长为4，求BG的长．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）证明∠A=∠D=90°，证明AEDF=ABDE，结合（2）证明△DEF∽△CGF，得到EDCG=DFCF，结合【点睛】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=BC=AB，∠A=∵AE=DE，∴AEAB又∵CF=3DF，即DF=1∴DFDE∴AEAB=DF∵∠A=∴△ABE（2）∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥∴△DEF∴EDCG又∵CF=3DF，正方形的边长为4，∴ED=2,CG=6，∴BG=BC+CG=10．【详解】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及其性质等知识，解题的关键是牢固掌握正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等知识．10．（2021·浙江杭州·校考三模）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G.(1)求证：△ABE≌△BCF；(2)若四边形AECF的面积为12，求BC的长.【答案】(1)见详解(2)2【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠ABC=90°=∠A，即有∠ABE+∠AEB=90°，结合BE⊥CF，可得∠ABE+∠GFB=90°，进而有∠GFB=∠AEB，则问题得解；（2）根据四边形AECF的面积等于梯形AECB的面积减去△BFC的面积，梯形AECB的面积等于△AEB的面积与△BEC的面积之和，再结合△ABE≌△BCF，可得S四边形（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°=∠A，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵BE⊥CF，∴∠BGF=90°，∴∠ABE+∠GFB=90°，∴∠GFB=∠AEB，即AB=BC∠∴△ABE≌△BCF，结论得证；（2）∵四边形AECF的面积等于梯形AECB的面积减去△BFC的面积，又∵梯形AECB的面积等于△AEB的面积与△BEC的面积之和，∴S四边形∵△ABE≌△BCF，∴S△∴S四边形∵S四边形∴S△∵在正方形ABCD中，有AB⊥BC，AB=BC，∴S△∴12∴BC=26即BC的长度为26【点睛】本题主要主要了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，求得S四边形11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连接交AC于点F．(1)如图1，若，求CF的值；(2)如图1，若S△CBF=32，求证：点(3)如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC=∠EBC，设CE=x，GB=y，试探究y与x的函数关系．【答案】(1)32(2)见解析；(3)y=18x+3-3（【分析】（1）由勾股定理可得AC的长，再由△ECF∽△BAF便可解答；（2）过点F作FH⊥BC于H，由△CFH∽△CAB求得CFFA=12，再由△（3）由△ECF∽△BAF求得CF=32xx+3，再由△CAG∽△CBF【详解】（1）解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC=3，∠ABC=90°，AB∥CD，∴AC=AB∴△ECF∽△BAF，∴ECBA∴CFAC=14，∴（2）证明：如图，过点F作FH⊥BC于H，∵S△CBF=32，BC=3∵FH⊥BC，AB⊥BC，∴FH∥AB，∴△CFH∽△CAB，∴CFCA∴CFFA∵AB∥CD，∴△ECF∽△BAF，∴ECBA∴EC=1∴点E是CD的中点；（3）解：如图，∵AB∥CD，∴△ECF∽△BAF，∴ECBA∴CFAC=x∵△CAG和△CBF中：∠ACG=∠BCF，∠CAG=∠CBF，∴△CAG∽△CBF，∴CACB∵CG=3y，∴323∴y=18x+3-3（【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．12．（2023·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，⊙A的半径为2，AB=5，点P为⊙A上任意一点，则BP的最小值为．（2）如图2，已知矩形ABCD，点E为AB上方一点，连接AE，，作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，求∠BPE的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，CP，若矩形的边长AB=6，，BE=BA，求此时CP的最小值．【答案】（1）3；（2）135°；（3）58【分析】（1）当点P在线段AB上时，BP有最小值，即可求解；（2）根据角平分线性质和三角形内角和定理即可求解；（3）先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆半径，进而判断出CP最小时点P的位置，最后构造直角三角形即可得出结论．【详解】（1）当点P在线段AB上时，BP有最小值为AB-AP=5-2=3，故答案为：3；（2）∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，∴∠FEB+∠FBE=90°，∵点P是△BEF的内心，∴BP平分∠ABE，PE平分∠FEB，∴∠PEB=12∠FEB∴∠BPE=180°-∠PEB-∠PBE=180°-1（3）∵AB=EB，∠ABP=∠EBP，BP=BP，∴△ABP≌△EBP，∴∠APB=∠BPE=135°，如图3，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，∵点Q在△ABP的外接圆⊙O上，∴∠AQB=180°-∠BPA=45°，∴∠AOB=2∠AQB=90°，∴OA=OB=2连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'过点O作于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，∵∠ABC=90°，，ON⊥CB∴四边形OMBN是矩形，∵OA=OB，∠AOB=90°∴∠ABO=45°∴OB平分∴OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴ON=BN=BM=1∴CN=BC+BN=7，在Rt△ONCOC=OCP【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形的内心，勾股定理等知识，构造出△ABP的外接圆是解本题的关键．13．（2022·浙江杭州·统考一模）如图1，在正方形ABCD中，点G在射线BC上，从左往右移动（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC(1)求证：AE=BF；(2)连接BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：点在G射线BC上运动时，始终满足tan(3)如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，△ADH和以点C，D，H，G为顶点的四边形的面积分别为S1和，当点G在BC的延长线上运动时，求S2S1【答案】(1)见解析(2)见解析(3)k【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠ADE，进而证明△ABF≅△DAE，即可得出结论；（2）分情况讨论：当点G在线段BC上时，当点G在线段BC的延长线上时，由△ABF≅△DAE得出AF=DE，再根据锐角三角函数进行计算即可；（3）过点H作HE⊥AD于点E，作HF⊥CD于点F，令BC=1，先证明△AHD∼△GHB，再通过证明四边形HEDF为正方形，继而求解即可．【详解】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°．∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE．在△ABF和△DAE中，∵∠AFB=∠AED∴△ABF≅△DAE∴AE=BF．（2）证明：①如图，当点G在线段BC上时，∵△ABF≅△DAE∴AF=DE．在Rt△BFE和Rt△DEF中，tanα=EF∴tanα∵BGBC=k，∴tan∠∴tanα∴tanα②如图，当点G在线段BC的延长线上时，同①，tanαtanβ∴tanα（3）解：过点H作HE⊥AD于点E，作HF⊥CD于点F，不妨令BC=1．∠DEH=∠DFH=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDF=90°,∠EDH=45°，∴∠EDH=∠EHD=45°，∴ED=EH，∴四边形HEDF为正方形，∴HE=HF，∵BGBC∴BG=k，CG=BG-BC=k-1．

∵AD∥BC，∴△AHD∼△GHB，∴DHBH∴BH=kDH．∵BH+DH=BD=∴DH=2k+1，在Rt△HED∴HE=DH∴HF=HE=1∴S【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并能够运用分类讨论的思想是解题的关键．14．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE．(1)若点E为AB的中点，求的值．(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE＝2BE．(3)如图2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，请用k的代数式表示AC2．【答案】(1)12(2)见解析；(3)AC2=4k（2k+1）【分析】（1）利用三角形中位线的性质，由△OEF∽△BCF即可解答；（2）过O作OG∥AB交CE于点G，可得OG为△CAE的中位线，OG=12AE，由△OFG≌△BFE可得OG=BE（3）过O作OH∥AB交CE于点H，由△OFH∽△BFE求得OH=k，由OH是△CAE的中位线求得AE=2k，再由△AOE∽△ABC即可解答.【详解】（1）解：如图，∵O为矩形对角线交点，∴OA=OC，∵E为AB中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥BC，OE=12BC∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OEBC（2）如图，过O作OG∥AB交CE于点G，∵OG∥AB，∴OC∶OA=GC∶GE=1∶1，∴G为CE中点，∴OG为△CAE的中位线，∴OG=12AE∵OG∥AB，则∠GOF=∠EBF，又∵∠OFG=∠BFE，OF=BF，∴△OFG≌△BFE，∴OG=BE，∴BE=12AE，即AE=2BE（3）解：如图，过O作OH∥AB交CE于点H，∵OH∥AB，∴△OFH∽△BFE，∴OHBE∵BE=1，∴OH=k，∵O是AC中点，OH∥AB，∴OC∶OA=HC∶HE=1∶1，∴H是CE中点，OH是△CAE的中位线，∴AE=2OH=2k，∵∠OAE=∠BAC，∠AOE=∠ABC=90°，∴△AOE∽△ABC，

∴AOAB∵AO=12AC，AB=2k+1，AE=2k∴AC2=4k（2k+1）.【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．15．（2021·浙江杭州·统考三模）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，当AB＝2时，若点F恰好为CD中点，求CE的长；(2)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG＝DF时，求证：HG⊥AG．【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G，根据AAS证明△ADF≌△GCF得AD＝CG＝2，最后再根据勾股定理即可求得；（2）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG=∠DAF，再证△AFH∽△DFG得＝FHFG，结合∠AFD=∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF=∠FGH，根据∠ADF=90°即可得证．(1)解：如图1，延长BC交AF的延长线于点G，∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠FGC，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴EA＝EG，∵点F为CD的中点，∴CF＝DF，在△ADF和△GCF中，∠DAF∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG＝2，设CE＝a，则BE＝2﹣a，∴AE＝EG＝EC＋CG＝2＋a，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2＋BE2＝AE2，即22＋（2﹣a）2＝（2＋a）2，解得a＝12∴CE＝12(2)如图2，连接DG，在△ADF和△DCG中，CG=∴△ADF≌△DCG（SAS），∴∠CDG＝∠DAF，∴∠HAF＝∠FDG，又∵∠AFH＝∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴＝FHFG，又∵∠AFD＝∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF＝∠FGH，∵∠ADF＝90°，∴∠FGH＝90°，∴AG⊥GH．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点．1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM【答案】(1)见解析(2)DM=2【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC得OD⊥BC，由垂径定理得BD=（2）由平行线分线段定理得DN=2147，再证明△BDN∽△ADB，可得BD=2，最后证明【详解】（1）证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD

即AD平分∠BAC；（2）解：∵BC∥EF，∴BEAE∵AB:BE=5:2，AD=14∴DN=2∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND∴BD2∴（负值舍去），∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2．（2021·浙江杭州·校考三模）四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，过D作DE⊥AC于点E，∠ADB＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD为⊙O直径；(2)如图2，延长DE交BC于点F，连接OC，且OC∥AD；①试判断△ABC的形状，并说明理由；②若cos∠ADB＝35，DE＝9，求BF【答案】(1)证明见解析(2)①△ABC是等腰三角形，理由见解析；②10【分析】（1）先根据垂直可得∠CDE+∠DCE=90°，再根据圆周角定理可得∠ABD=∠DCE，从而可得∠ADB+∠ABD=90°，然后求出∠BAD=90°，最后根据圆周角定理即可得证；（2）①先根据平行线的性质、圆内接四边形的性质可得∠OCD+∠ADC=180°、，从而可得∠ABC=∠OCD，再根据等腰三角形的性质、等量代换可得∠ABC=∠BDC，然后根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，从而可得∠ABC=∠BAC，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论；②先在Rt△CDE中，解直角三角形求出CD=15,CE=12，在Rt△CDF中，解直角三角形可得DF=25,CF=20，设BF=x，则AC=BC=20+x，AE=8+x，再根据圆周角定理可得（1）证明：∵DE⊥AC，∴∠CDE+∠DCE=90°，由圆周角定理得：∠ABD=∠DCE，∴∠CDE+∠ABD=90°，又∵∠ADB=∠CDE，∴∠ADB+∠ABD=90°，，∴BD是⊙O的直径．（2）解：①△ABC是等腰三角形，理由如下：∵OC∥AD，∴∠OCD+∠ADC=180°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠OCD，又∵OC=OD，∴∠BDC=∠OCD，∴∠ABC=∠BDC，由圆周角定理得：∠BAC=∠BDC，∴∠ABC=∠BAC，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；②∵∠ADB=∠CDE,cos∴cos∵DE⊥AC,DE=9，∴CD=DE∵BD是⊙O的直径，，在Rt△CDF中，设BF=x，则AC=BC=CF+BF=20+x，∴AE=AC-CE=8+x，由圆周角定理得：∠CBD=∠CAD，∴tan∴CDBC=解得x=10，经检验，x=10是所列分式方程的解，则BF=10．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、解分式方程等知识点，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．(1)求证：FD∥AB；(2)若AC=25，BC=5，求【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知AD=BD，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得CMOD【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵CD平分∠ACB，∴AD=∴∠AOD=∠BOD=90°，∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF=90°∴∠ODF=∠BOD，∴DF∥AB．（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AB=AC∴12即12∴CM=2，∴BM=B∴OM=OBBM=12∵DF∥AB，∴∠OFD=∠COM，又∵∠ODF=∠CMO=90°，∴△DOF∽△MCO，

∴CMOD即25∴FD=．【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．4．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，已知半径为r的⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结BC，BD．设k=DECE（k(1)若AB＝DC．①求证：CE＝BE；②若k＝1，且BC＝BD＝4，求r的值；(2)若AD＝BD＝90°，且AEBE=5，求【答案】(1)①见解析；②2(2)13【分析】(1)①利用同弧所对圆周角相等，进行解答即可，②k＝1，CE＝DE，E为CD中点，根据垂径定理进行推论即可；(2)连结AD，OD，利用同弧所对圆周角相等，△CEB∽△AED，进行解答即可．【详解】（1）①证明∵AB＝CD，

∴AB=∴AB-BC=∴AC＝BD∴∠ABC＝∠BCD∴CE＝BE

②解：如图1∵k＝1，

∴CE＝DE又BC＝BD＝4

∴BC∴AB⊥CD，AB为直径（垂径定理推论）又AB＝CD∴AB，CD均为直径（点E与点O重合）如图等腰Rt△CBD中，∠DBC＝90°∴CD＝2BD=4∴r=2（2）解：如图2，连结AD，OD∵AD＝BD＝90°∴AB为⊙O的直径，AD＝BD由于＝5，可设EA＝5x，BE＝x则OB＝OA＝3x，∴OE＝3x-x＝2x，∵∠BOD＝∠DOA＝90°，OE＝2x，OD＝3x，∴DE＝13x．

又∵∠DAB＝∠DCB，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△CBE，∴AECE∵BE＝x，DE＝13x，AE＝5x，∴CE=513∴k=【点睛】本题考查圆周角的定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理，利用同弧所对圆周角相等是解题的关键．5．（2022·浙江杭州·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，．(1)求证：∠AGD=∠FGC；(2)求证：△CAG∽△FAC；(3)若AG⋅AF=48，，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）根据垂径定理得到EC=ED，根据等腰三角形的性质得到∠3=∠ADC，推出∠1=∠ADC，等量代换即可得到结论；（2）连接AC，BC，推出∠FCG=∠DAG，得到，推出∠ACG=∠F，由于∠CAG=∠CAF，于是得到结论，（3）根据相似三角形的性质得到ACFA=AGAC，得到AC【详解】（1）证明：连接AC，如图所示：∵AB⊥CD，∴EC=ED，∴AC=AD，∴∠3=∠ADC，∵∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，∴∠1=∠ADC，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2，即：∠AGD=∠FGC；（2）解：连接BC，∵∠FCG+∠DCG=180°，∠DCG+∠DAG=180°，∴∠FCG=∠DAG，∵∠1=∠2，∴，∵∠ADG=∠ACG，∴∠ACG=∠F，∵∠CAG=∠CAF，∴△CAG∽△FAC；（3）解：∵△CAG∽△FAC，∴ACFA∴AC∴AC=43在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC=43∴AE=A∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠AEC=90°，∴∠ACB=∠AEC，∵∠CAB=∠EAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB∴即43∴AB=8，∴⊙O的半径为4．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）如图1，在△ABC中，AB=AC=5,sin∠ABC=35,AD⊥BC于点D，P是边AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交AD于点M，过C，P，M三点作⊙O交(1)①线段CD的长为___________；②求证：CN=PN；(2)如图2，连接BN，若BN与⊙O相切，求此时⊙O的半径r；(3)在点P的运动过程中，试探究线段MN与半径r之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①4；②证明见解析(2)当BN与⊙O相切时，⊙O的半径r为125(3)MNr【分析】（1）①根据等腰三角形三线合一的性质和三角函数值求解即可；②连接MC，根据圆内接四边形性质和同弧所对圆周角相等推出∠BMN=∠PCN，再结合等腰三角形的性质推出∠PCN=∠CPN，即可求证CN=PN；（2）连接NO并延长交AC于点H，连接OC,OP，根据OC=OP，CN=PN推出NH⊥CP，从而得到AC∥BN，证明△ADC≌△NDB，得到ND=AD=3，再利用同一个三角形面积不变性求解出NH=245，在Rt△CNH中，利用勾股定理求出CH=7（3）连接OM，ON，MC，作OQ⊥MN，根据条件推出，利用垂径定理和圆周角定理推出∠MOQ=∠MCN=∠CAD，再利用三角函数即可求得线段MN和半径r之间的数量关系．【详解】（1）解：①∵AD⊥BC，AB=AC=5，sin∴AD=3，BD=CD=4∴线段CD的长为4②如答图1，连接MC，∵CN∴∠CMN=∠CPN∵圆内接四边形CPMN∴∠PCN+∠PMN=180°又∵∠BMN+∠PMN=180°∴∠BMN=∠PCN又∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD∴BM=CM∴∠BMN=∠CMN∴∠PCN=∠CPN∴CN=PN（2）解：如答图2，连接NO并延长交AC于点H，连接OC,OP．在Rt△ABD中，∠ADB=90°,AB=5,∴AD=3,BD=4,∠ADC=∠NDB=180°-∠ADB=90°∵OC=OP，CN=PN∴ON为CP的垂直平分线，即NH⊥CP又∵BN与⊙O相切，即NH⊥BN∴AC∥BN∴∠CAD=∠BND又∵BD=CD,∠ADC=∠NDB∴△ADC≌△NDB(AAS)∴ND=AD=3∵AD⊥BC,AN=2AD=6,CD=4∴S又∵S∴NH=在Rt△CNH中，CH=在Rt△COH中，，即：752+答：当BN与⊙O相切时，⊙O的半径r为12548（3）如答图3，连接OM，ON，MC，作OQ⊥MN，∵PM∴∠PCM=∠PNM∵∠PCN=∠PCM+∠MCN，∠CPN=∠PNM+∠CAD，∠CPN=∠PCN∴∵OQ⊥MN∴MQ=12又∵∠MCN=∴∠MOQ=∠MCN=∠CAD又∵∠MQO=∠ADC=90°∴MQ∴MN【点睛】本题考查了圆的综合题型，涉及到了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、同一个三角形的面积不变性、三角函数等知识点，解题的关键是能够正确作出辅助线，熟练运用各知识点．7．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB=10，CD=6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．(1)如图1，当DP=4时，求tan∠P(2)如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP=x，S△QAC①求证：∠ACQ=∠CPA；②求y与x之间的函数关系式．【答案】(1)9(2)①见解析②y=【分析】（1）根据垂径定理求出线段AE的长，由锐角三角形函数的定义可得出答案；（2）①连接BQ，由圆周角定理可得出答案；②由相似三角形的性质可得到△PDQ和△ACQ的面积关系，再结合△CDQ和△PDQ的关系，即可得出答案．【详解】（1）解：连接OD，∵直径AB⊥CD，∴DE=1∴OE=4，AE=9．∵DP=4，tan∠P=（2）①证明：连接BQ，∵，∴∠ACQ=∠ABQ，为直径，，∵AB⊥CP，∴∠P+∠BAP=90°，；②在Rt△ACE中，AE=9，CE∴AC=310，，∴ΔPDQ∽ΔCAQ，SΔPDQSSΔPDQS∴y=S∴y=15【点睛】本题属于圆综合题，考查了直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．8．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，ΔABC内接于⊙O，AB=BC，A为CD中点，CD与AB相交于点E．过B作BF//AC，交CD延长线于F．(1)求证：ΔACE∽ΔABC；(2)求证：BF=FE；(3)延长FB交AO延长线于M．若tan∠F=34，【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BM=【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等可得∠ACE=∠ABC，∠CAE为公共角，结论可得；（2）利用（1）中的结论可得为等腰三角形，即CA=CE，则∠CAE=∠CEA；利用平行线的性质和对顶角的性质可得∠FBE=∠FEB，结论可得；（3）连接OB，利用已知条件可以判定OB⊥BM，利用同角的余角相等，可得∠BOM=∠F；连接OC，设AM与CD交于点，由垂径定理可得，利用平行线的性质可得，在Rt△ACH中，利用直角三角形的边角关系可求得AH，设圆的半径为x，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得圆的半径；在RtΔOBM中，解直角三角形即可得出结论．【详解】（1）解：∵A为CD中点，AD=AC∴∠ACE=∠ABC．，；（2）解：，∴．∵AB=BC，∴CA=CE．．∵BF//AC，．，∴∠FBE=∠FEB．∴BF=FE．（3）解：连接OB，OC，设AM与CD交于点，如图，为CD中点，，，∠AEH+∠EAH=90°．，．．∵OB=OA，．．即．．∵OH⊥CD，，．．∵BF//AC，，，，AHCH=．设圆的半径为x，则．在Rt△OHC中，，∴．解得：．．在Rt△OBM中，，．【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接圆的半径，解题的关键是利用勾股定理列出方程求解．9．（2021·浙江杭州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且AE＝DF，连接并延长AF，分别交BE于点G，BC延长线于点H．（1）请判断BE与AF的位置关系，并说明理由．（2）连接EH，若EB＝EH，求证BG＝2GE．【答案】（1）AF⊥BE，理由见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可证△ABE≌△DAF（SAS），可得∠DAF＝∠ABE，可求∠DAF+∠AEB＝90°即可；（2）如图，过点E作EM⊥BC于M，先证四边形ABME是矩形，可得BH＝2AE，可证△AEG∽△HBG，由性质BGGE【详解】证明：（1）AF⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE和△DAF中，AB=∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠DAF＝∠ABE，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AGE＝90°，∴BE⊥AF；（2）如图，过点E作EM⊥BC于M，∵EB＝EH，EM⊥BC，∴BM＝MH＝12BH∵EM⊥BC，∴∠BME=∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM，∴BH＝2AE，∵AD∥BC，∴∠EAG=∠BHG，∠AEG=∠HBG，∴△AEG∽△HBG，∴BHAE∴BG＝2GE．【点睛】本题考查正方形性质，三角形全等判定与性质，两锐角互余的三角形是直角三角形，等腰三角形三线合一性质，矩形的判定与性质，相似三角形判定与相似，掌握正方形性质，三角形全等判定与性质，两锐角互余的三角形是直角三角形，等腰三角形三线合一性质，矩形的判定与性质，相似三角形判定与相似是解题关键．10．（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∠BOC=120°,AB=2．（1）求矩形对角线的长．（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE=α，求tanα【答案】（1）4；（2）3【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=12AD，在Rt△ABE中即可求得tan【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD,OA=OC=1∵∠BOC=120°,∴∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=2，所以AC=BD=2OB=4．故答案为：4．（2）在矩形ABCD中，∠BAD=90°．∴AD=由（1）得，OA=OD．又∵OE⊥AD∴AE=在Rt△ABE中，故答案为：32【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．11．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过B点作BF//AC，过C点作CF//BD，与CF相交于点F．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接OF、DF，若AB=2，，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）先根据已知证得四边形OBFC是平行四边形，再根据矩形对角线的性质得到四边形OBFC是菱形；（2）连接FO并延长交AD于H，交BC于K，然后可以求得FH的值，再由tan∠OFD的值求得HD及BC的值，最后由勾股定理得到AC的值．【详解】解：（1）∵BF//AC，CF//BD，∴四边形OBFC是平行四边形，∵矩形ABCD，∴∴OB=OC，∴四边形OBFC是菱形．（2）连接FO并延长交AD于，交BC于K，∵菱形OBFC，，∵矩形ABCD，∴∠DAB=∠ABC=90°，OA=OD，∴四边形ABKH是矩形，∴∠DHF=90°，，∴H是AD中点，∵O是BD中点，，，，，，∴BC=AD=4，∴AC=A【点睛】本题考查矩形及菱形的应用，熟练掌握矩形及菱形的判定与性质是解题关键．12．（2021·浙江杭州·统考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP，DP，点E是线段AP上一点，且∠ADE=∠APD，连接．（1）求证：ADAP（2）求证：BE⊥AP；（3）求DPAP【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）直接根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可；（2）根据（1）中结论和正方形的性质可得ABAE=AP（3）由△ADE∽△APD得ADAP=DEPD，即PDAP=DEAD，由AD=2知DE最小时，DPAP的值最小．由（2）中BE⊥AP知，OE=12【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠PAD，∠ADE=∠APD，∴△ADE∽△APD，∴ADAP（2）证明；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ABC=90°，∴AB∴ABAE∵∠BAE=∠PAB，∴△ABE∽△APB，∴∠AEB=∠ABP=90°，∴BE⊥AP；（3）∵△ADE∽△APD，∴ADAP∴PDAP∵AD=2，∴DE最小时，DPAP由（2）中BE⊥AP知，OE=1∴点E在以AB为直径的圆上，作△ABE的外接圆⊙O，如图，则当O、E、D三点共线时，DE最小，且OD=A∴DE的最小值为DO﹣OE=5-1∴的最小值=5-1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理、圆的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质，学会借助辅助圆解决最小值问题是解答的关键．13．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．【答案】（1）见解析；（2）135°；（3）3【分析】（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解；（3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵AD//BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，