江西省临川实验学校2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

临川实验学校20172018学年度下学期高一期中测试数学试卷一、选择题1．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则∠B＝()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°2．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，B为锐角，则A为()A．30°B．45°C．60°D．90°3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则a的值为()A．1B．2C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)5．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足eq\f(An,Bn)＝eq\f(4n＋2,5n－5)，则eq\f(a5＋a13,b5＋b13)的值为()A.eq\f(7,8)B.eq\f(7,9)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,20)6．关于x的不等式ax－b>0解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(－1,3)C．(1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)7．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)B.eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC.eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>aD.eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2)8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，则∠B＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)9．已知等差数列的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n的值为()A．9B．21C．2710．设a>0，b>0.若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8B．4C．1D.eq\f(1,4)11．等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为()A．6B．7C．812．若数列{an}的通项公式，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()A．3B．4C．5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．若{an}是等差数列，首项a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，则使前n项和成立的最小自然数n是________．14．若锐角△ABC的面积为10eq\r(3)，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．15．已知关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，则实数m＝________.16．在△ABC中，已知，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).(1)求AC；(2)求角A.18．(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列．(1)求an与bn；(2)证明：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)<eq\f(3,4).

19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝eq\f(\r(6),6)b，sinB＝eq\r(6)sinC.(1)求cosA的值；(2)求的值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)＜0的解集；(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．

21．(本小题满分12分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.22．(本小题满分12分)已知数列{an}是首项a1＝1的等比数列，且an>0，数列{bn}是首项为1的等差数列，又a5＋b3＝21，a3＋b5＝13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和.

临川实验学校高一数学下学期期中答案一、选择题DABDAACACBCA1．解析：由正弦定理得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(10×sin30°,5\r(2))＝eq\f(\r(2),2)∵c>a，∴C>A，∴C＝45°或135°当C＝45°时，B＝180°－(A＋C)＝105°.当C＝135°时，B＝180°－(A＋C)＝15°.故选D.2．解析：lgsinB＝－lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).又∵B为锐角，∴B＝45°.又lga－lgb＝lgeq\f(a,b)＝lgeq\f(\r(2),2)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\r(2),2)，∴sinA＝eq\f(1,2)，a＜b，∴A＝30°.答案：A3．解析：∵0<a<b，∴a·a<ab.∴a<eq\r(ab).由基本不等式知eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)(a≠b)，又∵0<a<b，a＋b<b＋b，∴eq\f(a＋b,2)<b.∴a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b.答案：B4．解析：由已知得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝2.故a2＝4＋1－2×2×1×coseq\f(π,3)＝3，得a＝eq\r(3).答案：D5．解析：由等差数列的性质得eq\f(a5＋a13,b5＋b13)＝eq\f(a1＋a17,b1＋b17)＝eq\f(A17,B17)＝eq\f(4×17＋2,5×17－5)＝eq\f(7,8).故选A.6．A7．解析：特殊值验证法，取a＝－1，b＝－2，则eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b2)＝eq\f(－1,4)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a，故选C.8．解析：由正弦定理知asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b可化为sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，即sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，故sinB＝eq\f(1,2)，由于a＞b，所以B为锐角，故B＝eq\f(π,6)，故选A.答案：A9．【解析】∵S3＝a1＋a2＋a3＝1，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴3(a1＋an)＝1＋3，∴a1＋an＝eq\f(4,3).又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(2,3)n＝18，∴n＝27，故选C.10．解析：∵eq\r(3)是3a与3b的等比中项，∴(eq\r(3))2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)取等号)，故选B.11．解析：∵S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8>0，∴a8>0.∴S16＝eq\f(16a1＋a16,2)＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，∴a9<0，∴使an>0成立的最大值为8.答案：C12．解析：an＝5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2n－2－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n－1＝5·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n－1－\f(2,5)))2－eq\f(4,5).显然当n＝2时，an取得最小值，当n＝1时，an取得最大值，所以x＝1，y＝2.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13、4714、715、－116、13．解析：由等差数列的性质，a23＋a24>0，a23·a24<0，∴a23>0，a24<0，S46＝23(a1＋a46)＝23(a23＋a24)>0S47＝eq\f(47a1＋a47,2)＝47·a24<0S45＝eq\f(45a1＋a45,2)＝45a23>0，∴的最大自然数n＝47.答案：4714．【解析】由正弦定理，得S＝eq\f(1,2)×AB×AC×sinA＝10eq\r(3)，∴sinA＝eq\f(20\r(3),5×8)＝eq\f(\r(3),2).∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq\f(π,3).由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝25＋64－2×5×8×coseq\f(π,3)＝49，∴BC＝7.15．解析：由题意，得，解得m＝－1.答案：－116．解析：因为sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sinCsin(A＋B)＝sin2C，所以sinAsinBcosC＝sin2C，由正弦定理可得abcosC＝c2，由余弦定理可得ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝c2，从而3c2＝a2＋b2≥2ab，即eq\f(ab,c2)≤eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解析：(1)由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).∴AC＝eq\f(5×3,3)＝5.(2)由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A＝120°.18．解析：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ban＋1,ban)＝\f(q3＋nd－1,q3＋n－1d－1)＝qd＝64＝26①,S2b2＝6＋dq＝64))由(6＋d)q＝64知q为正有理数，又由q＝2eq\f(6,d)知，d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d＝2，q＝8，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)证明：Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))<eq\f(3,4)∴eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)<eq\f(3,4)19．解：(1)在△ABC中，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，及sinB＝eq\r(6)sinC，可得b＝eq\r(6)c.又a－c＝eq\f(\r(6),6)b，有a＝2c.所以，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6c2＋c2－4c2,2\r(6)c2)＝eq\f(\r(6),4).(2)在△ABC中，由cosA＝eq\f(\r(6),4)，可得sinA＝eq\f(\r(10),4).于是，cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(1,4)，sin2A＝2sinA·cosA＝eq\f(\r(15),4).所以，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝cos2A·coseq\f(π,6)＋sin2A·sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(15)－\r(3),8).20．解析：(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，∴(2x＋4)(x－4)＜0，∴－2＜x＜4，∴不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8.当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴对一切x＞2，均有不等式eq\f(x