专题937三角形的中位线（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.37三角形的中位线（题型分类拓展）【题型目录】【题型1】坐标系背景下的中位线；【题型2】作图题背景中的中位线；【题型3】中位线性质与折叠问题；【题型4】三角形中位线中的旋转问题；【题型5】三角形中位线中的最值问题；【题型6】三角形中位线中的动点问题.单选题【题型1】坐标系背景下的中位线；1．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点分别是各边的中点，顺次连接各中点，并连接交于点，点为的中点，则的长为（

）

A．2 B．2.5 C．1.5 D．32．（2019下·北京昌平·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（

）A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）【题型2】作图题背景中的中位线；3．（2022·河北唐山·校考一模）如图，在中，，，，按如下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作

交于点，连接，．则四边形的周长为（）

A． B． C． D．4．（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（

）A．OB=OC B．DEAB C．DB=DE D．=【题型3】中位线性质与折叠问题；5．（2023下·贵州黔西·八年级校联考期末）在中，，，，是边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点与点．重合，折痕为，则的周长为（

）

A．9.5 B．10 C．11 D．15.56．（2022上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（

）①；②；③和的面积相等；④和的面积相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③【题型4】三角形中位线中的旋转问题；7．（2023上·福建龙岩·九年级校联考阶段练习）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（

）．A． B． C． D．8．（2022上·河南南阳·九年级统考期中）如图，的两条直角边分别在轴，轴上，C，D分别是边，的中点，连接，已知，将绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（

）

A． B． C． D．【题型5】三角形中位线中的最值问题；9．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.810．（2023下·江西九江·八年级濂溪一中校考期末）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（

）

A． B． C． D．2【题型6】三角形中位线中的动点问题.11．（2023下·山东滨州·八年级统考期末）如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（

）

A．4 B．3 C．2 D．不确定12．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6填空题【题型1】坐标系背景下的中位线；13．（2023下·福建福州·八年级校考期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于，两点，点C，D分别为线段，的中点，点为上一动点，当时，点的坐标为．

14．（2023下·江西上饶·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中已知点和点，是的中点，若有一动点在折线上运动，直线截所得的三角形为直角三角形，则点的坐标为．

【题型2】作图题背景中的中位线；15．（2023上·江苏南通·九年级海南中学校考阶段练习）如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点，若，则线段的长为．

16．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，菱形的对角线，相交于点，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为点，；②过点，作直线，交于点；③连接．若，则菱形的周长为．【题型3】中位线性质与折叠问题；17．（2023上·山东青岛·九年级期末）如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则.18．（2022上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D为的中点．将沿折叠得到，连接．若，则线段．【题型4】三角形中位线中的旋转问题；19．（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为．

20．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，点为的中点，将绕点旋转得到，连接，为的中点，连接，若，，当时，的长为．

【题型5】三角形中位线中的最值问题；21．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为．22．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，矩形的边，是上一点，，是上一动点，、分别是、的中点，则周长的最小值为．

【题型6】三角形中位线中的动点问题.23．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，已知矩形，，分别是和上的动点，，分别是，的中点．若，，则的长为．24．（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为．解答题【题型1】坐标系背景下的中位线；25．（2019上·上海青浦·九年级校考期中）如图，已知点和点都在一次函数上，是的平分线，过点作，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为．

（1）求这条直线的解析式；（2）求证：为的中点；（3）若一次函数图像上有点，和点，，构成梯形，试求点的坐标．26．（2023·天津红桥·统考三模）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．

（1）如图①，当时，求与的交点的坐标；（2）如图②，连接，当经过点A时，求的长；（3）设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）．【题型2】作图题背景中的中位线；27．（2023上·广西南宁·九年级校考期中）如图，中，点D、E分别为、的中点．（1）过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求证：；（3）若，求的长．28．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，且．

（1）用直尺和圆规在边上作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下：①求的长；②线段与线段的数量关系是______，位置关系是______．【题型3】中位线性质与折叠问题；29．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的纸片进行以下操作，并探究其中的问题：将纸片沿过边中点D的直线折叠，点C的对应点恰好落在边的中点处，折痕交于点E，连接、．（1）探究一：判断四边形的形状，并说明理由；（2）探究二：若，四边形的对角线之和为14，求四边形的面积．30．（2019上·广东深圳·九年级统考期中）如图1，一张矩形纸片，其中，，先沿对角线折叠，点落在点的位置，交于点．（1）求证：；（2）求的长；（3）如图2，再折叠一次，使点与重合，折痕交于，求的长．【题型4】三角形中位线中的旋转问题；31．（2023上·福建南平·九年级统考期中）如图，在中，，，将绕顶点C逆时针旋转得到，使点落在边上，设M是的中点，连接，．（1）写出旋转角的度数．（2）求的面积．32．（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图1，在等边中，点D、E分别是上的点，与交于点O．（1）填空：度；（2）如图2，将绕点A旋转得，连接，求证：；（3）如图3，若点G是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由．【题型5】三角形中位线中的最值问题；33．（2022下·辽宁锦州·八年级统考期末）在与中，，，．

（1）如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________．（2）如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由（3）如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值．34．（2023下·湖南娄底·八年级娄底市第三中学校考期中）如图，菱形的边长为2，，点是边上任意一点（端点除外）,线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．（1）求证：（2）求证：的最小值（3）当点在上运动时，的大小是否变化?为什么?【题型6】三角形中位线中的动点问题.35．（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．（1）求证：；（2）写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）写出x为何值时，？36．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在的同侧以AB、AC为底边向外作等腰、，其中，P为BC的中点，连接PD、PE．

图1

图2

图3（1）如图1，当时，直接写出PD与PE的关系_____．（2）如图2，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；（3）如图3，当，，连接DE，取其中点M，若动点A从的位置运动到时停止，则M点的运动路径长为______．参考答案：1．B【分析】根据矩形的性质和点分别是各边的中点可得，，，，根据两点间的距离公式可得，从而可得四边形为菱形，从而得到为的中点，由点为的中点，可得为的中位线，即可得到答案．解：四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点分别是各边的中点，，，，，，，，，，四边形为菱形，为的中点，点为的中点，为的中位线，，故选：B．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形的中位线定理、两点间的距离公式，熟练掌握矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形的中位线定理、两点间的距离公式，是解题的关键．2．D【分析】根据三角形的中位线的性质和点的坐标，解答即可．解：过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，∴NE∥x轴，NF∥y轴，∵点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，∴NE=2，NF=1，∴点N的坐标为（2，1），故选：D【点拨】本题主要考查坐标与图形的性质，掌握三角形的中位线的性质和点的坐标的定义，是解题的关键．3．C【分析】由根据题意得是的垂直平分线，即可得，，然后由，可证得，继而证得四边形是菱形，根据勾股定理逆定理可得，所以，可得是的中位线，再根据三角形中位线定理求出，进而求出菱形的周长．解：根据作图过程可知：是的垂直平分线，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∵，，，∴，，，又∵，∴，即，∴，∴点是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴菱形的周长为．故选：C．【点拨】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，等边等对角，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理．4．C【分析】作图步骤可得出直线为线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质判断选项；线段为的中位线，根据中位线的性质判断选项即可．解：由题意可知直线为线段的垂直平分线∴，，故选项A正确；∵为线段的中点，为线段的中点∴线段为的中位线∴，，故选项B正确；∴=，故选项D正确；∵∴，故选项C错误；故选：C．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的画法与性质以及中位线的性质．5．D【分析】先根据折叠的性质可得，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，同理可得出，然后根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形的周长公式即可得．解：由折叠的性质得：AD是BC边上的高，即，同理可得：又点E是AB的中点，点F是AC的中点是的中位线则的周长为故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出是解题关键．6．A【分析】先判断出是直角三角形，再利用三角形的外角判断出①正确，进而判断出，得出是的中位线判断出②正确，利用等式的性质判断出④正确．解：如图，连接，∵点是中点，∴，由折叠知，，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确，由折叠知，，∴，∵，∴是的中位线，∴，故②正确，∵，∴，由折叠知，，∴，∴，故④正确，无法判断和的面积是否相等，∴③不正确，故选：A．【点拨】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．7．D【分析】本题主要考查了、三角形中位线定理、正方形的性质、三角形三边关系、勾股定理，延长至点，使，连接，，，由三角形中位线定理可得，由正方形的性质结合勾股定理可得，，由三角形三边关系可得，从而可得的最大值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．解：如图，延长至点，使，连接，，，，点是的中点，，是的中位线，，正方形、正方形的边长分别为4和1，，，，的最大值为，的最大值为，故选：D．8．C【分析】根据已知条件求出点D的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．解：∵∴∵C，D分别是边，的中点，∴，，∴点D的坐标为，点C的坐标为∴第1次旋转结束时，点D在C点正下方，且，点D的坐标为，第2次旋转结束时，点D在C点左边，且，，点D的坐标为，第3次旋转结束时，点D在C点正上方，且，点D的坐标为，则第4次旋转结束时，点D的坐标为，•••观察可知，4次一个循环，∵，∴第2023次旋转结束时，点D的坐标为，故选：C．【点拨】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．9．D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接，作于点H．由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可．解：连接，作于点H．

∵点，分别是，边上的动点，∴是的中位线，∴，∴当最小，即点E与点H重合时的值最小．设，则，∵，∴，∴，∴的最小值为4.8．故选D．10．C【分析】如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．解：如图，取的中点M，连接，作于N．

∵四边形是平行四边形，，∴，∵点M是的中点，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，∵，，∴，∵点E为的中点，点F为的中点，∴是的中位线，∴，

∵点G是上的动点，∴，∴，即∴EF的最大值为，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为．故选：C．【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明．11．A【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答．解：如图，在平行四边形中，．，分别为的中点，是的中位线，．故选：A．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．12．C【分析】连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积=的面积，同底等高的三角形面积相等，即可得到答案．解：连接，∵点E是的中点，的面积的为，∴的面积的面积，∵点D是的中点，∴的面积的面积，∵D，E分别是，的中点，∴，∴的面积的面积，故选：C．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．13．/【分析】连接，过点作于点，由点，分别为线段，的中点，可得出是的中位线，进而可得出，利用“两直线平行，内错角相等”及，可得出，结合等腰三角形的三线合一，可得出点为线段的中点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点，的坐标，结合点为线段的中点，可得出点的坐标，进而可得出点的坐标．解：连接，过点作于点，如图所示．

点，分别为线段，的中点，是的中位线，，，，又，，点为线段的中点．当时，，点的坐标为，点的坐标为；当时，，解得：，点的坐标为，又点为线段的中点，点的坐标为，，点的坐标为，．故答案为：，．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质，确定点的位置是解题的关键．14．、、【分析】分类讨论：当时，，易得P点坐标为；当时，，易得P点坐标为；当时，连接，可得为的垂直平分线，根据勾股定理得到的长，从而得到P点坐标．解：当时，，由点C是的中点，可得P为的中点，此时P点坐标为；当时，，由点C是的中点，可得P为的中点，此时P点坐标为；当时，如图，连接，

由点C是的中点，可得为的垂直平分线，∴，由勾股定理可得，，∴，∴此时P点坐标为，综上所述，满足条件的P点坐标为、、．故答案为:、、．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，掌握勾股定理是解题的关键．15．【分析】此题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质和中位线性质定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及中位线的性质的应用．解：由作法得，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴为的中位线，∴，故答案为：．16．【分析】根据作图可得是的中点，根据菱形的性质得出是的中点，根据三角形中位线的性质得出，根据菱形的性质即可得周长．解：根据作图可知是的垂直平分线，∴是的中点，∵菱形的对角线，相交于点，∴，∴，∵，∴，∴菱形的周长为，故答案为：．【点拨】本题考查了作线段垂直平分线，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握基本作图是解题的关键．17．【分析】本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．由折叠可知，垂直平分，连接，可得是的中位线，求出即可求．解：由折叠可知，垂直平分，连接，是的中点，是的中点，，，，，，故答案为：．18．/【分析】连接，设与交于点O，由折叠的性质可知，再根据勾股定理可得的长度，最后利用三角形中位线得出答案．解：连接，设与交于点O，

由折叠性质可知，，且，又∵，，是的中点，，设，则，，，即，解得，即，又，（三角形中位线定理），．故答案为：．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，利用直角三角形斜边上中线的性质和勾股定理是解题关键．19．【分析】连接，取中点，连接，由三角形中位线定理可得，即，由三角形三边关系可得，当三点共线时，上式取等号，由的坐标可得，再根据两点间的距离公式可得，即可得到答案．解：连接，取中点，连接，

，为的中点，，即，，当三点共线时，上式取等号，，，，，的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．20．或【分析】当时，需分两种情况进行讨论：①当点F位于矩形内部时，如图①，延长与交于点，证明点与点E重合，由为的中位线，由勾股定理求解，由旋转性质得可得，从而可得答案；②当点F位于矩形外部时，如图②，同理可得，，从而可得答案．解：当时，①当点F位于矩形内部时，如图①，

延长与交于点，∵，∴，∵点G为的中点，∴，∴点为的中点，则点与点E重合，而为的中位线，∵，∴，∵，由勾股定理得由旋转性质得，∴∴；②当点F位于矩形外部时，如图②，

同理可得，，∴．故答案为：或．【点拨】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，旋转的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．21．【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三线合一定理，勾股定理，过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则．解：如图所示，过点B作于G，连接，∵在中，，，∴，∴，∴，∵F，M分别是，的中点，∴是的中位线，∴，∴当时，最小，即此时最小，∵当时，，∴，∴，∴最小值为，故答案为：．22．8【分析】延长到，使，连接，则，，当、、在同一直线上时，最小，即周长的最小,最小值为．根据、分别是、的中点，得到从而周长的最小,最小值为．解：∵，，∴延长到，使，连接，

则，，当、、在同一直线上时，最小，即周长的最小,最小值为．在中，即最小为，∵、分别是、的中点，∴∴周长的最小,最小值为,故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称最小值问题，熟练运用轴对称的性质和中位线定理是解题的关键．23．6.5【解析】略24．【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值求出即可．解：连接，如图：，分别是，的中点，是的中位线，，当最大时，有最大值，，分别是边，上的动点，当与重合时，最大为的长，正方形边长为2，，的最大值为，故答案为：．25．（1）；（2）见分析；（3）或【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；（2）延长交轴于点，根据等腰三角形的判定可得到，再根据平行线的性质得到，即可得出结论；（3）由（2）可知，，从而得到，，分两种情况当时和时两种情况进行求解即可．（1）解：把点和点代入得：，解得：，这条直线的解析式为；（2）如图，延长交轴于点，

是的平分线，，，，，，，，为的中点；（3）如图：

由（2）可知，，，为的中点，，，，，当时，在中，令得，；当时，由，得直线的解析式为，设直线的解析式为，把代入，得，，解得：，直线的解析式为，解，得，，综上所述，的坐标为或．【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形中位线，梯形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．26．（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解；（2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解；（3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围．（1）解：如图，过点作轴，垂足为．

∵点，∴．∵，∴．在中，．∵，∴．∴．∴，∴是等边三角形，∵，轴∴．∴．∴点的坐标为．（2）如图，过点作轴，垂足为．

由旋转得，．∴．∴．∴．∴．∴．在中，．（3）解：取线段的中点N，连接、，则

∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴由旋转的性质得：，∴∴即【点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键．27．（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作，根据平行线的判定可得；（2）求出，，利用可直接证明；（3）根据是的中位线求出，再利用全等三角形的性质得出答案．（1）解：如图所示：点F，即为所求；（2）证明：由作图知，，∵点E为的中点，∴，又∵，∴；（3）∵点D、E分别为、的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴．【点拨】本题考查了尺规作图，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．28．（1）见分析；（2）①；②，【分析】此题考查作角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等角对等边证明边相等，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．（1）作的平分线，可得；（2）①由得到，，利用推出，进而得到，证得，即可求出；②勾股定理求出，根据中点得到是的中位线，由此得到．解：（1）如图，连接，

∵∴；（2）①∵，∴，，∵，是边的中点，．∴∴∵∴∴∴；②∵，，，∴∵∴是的中位线，∴，故答案为：，．29．（1）四边形是菱形，理由见分析；（2）四边形的面积为24．【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，推出，证明，得到，即可证明结论成立；（2）设，，由三角形中位线定理求得菱形的边长为5，利用菱形的性质得到，利用勾股定理得到，据此求解即可．（1）解：四边形是菱形，证明：连接，由折叠的性质得，，，即，∵点D是边中点，点是边的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：由（1）知四边形是菱形，∴设，，即，，四边形的面积为，由（1）知是的中位线，∴，由勾股定理得，∵四边形的对角线之和为14，∴，∴，即，∴，即四边形的面积为24．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，完全平方公式，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．30．（1）证明见分析；（2）；（3）【分析】（1）由折叠性质知，，再证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）设，由全等性质知，再在中，利用勾股定理得，解之可得答案；（3）利用勾股定理求出，再证是的中位线得，，证明，设，则，由勾股定理得，即，解之可得答案．解：（1）证明：∵矩形纸片沿对角线折叠，点落在点的位置，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，设，则，∴，∵在中，，∴，解得：，∴，∴的长为；（3）再折叠一次，使点与重合，得折痕，且，，∴，即点是的中点，∴在中，，∵，，∴，∴点是的中点，∴是的中位线，∴，，由折叠的性质可知，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∴的长为．【点拨】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等角对等边知识点．31．（1）旋转角的度数是；（2）【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，（1）根据三角形的全等，旋转的性质，推理判断即可．（2）根据三角形中位线定理，直角三角形的性质计算即可．解：（1）∵绕顶点C逆时针旋转得到，∴，∴，故旋转角为．（2）如图，作的中点H,连接，∵绕顶点C逆时针旋转得到，使点落在边上∴，，∴点、C、B共线，∵M是的中点，点H是的中点，∴，∴，∴．32．（1）120；（2）见分析；（3），见分析【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质“三边相等，三个角都是”，全等三角形的判定和性质，全等三角形常见判定方法“”添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由“”可证，可得，由外角的性质可求解；（2）由“”可证，可得；（3）由三角形中位线定理可得，由“”可证，可得．（1）解：是等边三角形，在和中，，，，；故答案为：120；（2）证明：将绕点A旋转得，连接，是等边三角形，，，；（3）解：，理由如下：如图，延长至H，使，连接，∵点G是的中点，，又，，∵是等边三角形，，，，，，又，，，．33．（1），；（2），；理由见分析；（3）最小值为2，最大值为8．【分析】（1）延长交于，证明，得出，，根据，得出，即可得出结论；（2）延长交于点，交于点，通过证明，得出，，根据，，得出，即可得出结论；（3）连接，由（1）（2）同理可得，，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，，则，当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小；当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大．（1）解：延长交于，

在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案为：，；（2）解：，；理由：延长交于点，交于点，

∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，；（3）解：连接，

由（1）（2）同理可得，，∵点M，P，N为，，的中点，∴，，∴∵，，∴，∴，∵绕点B在平面内