福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学

龙岩市2023～2024学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（）A.2 B. C. D.12.若复数，则的虚部为（）A.i B.1 C. D.3.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（）A. B. C. D.4.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题错误的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则m与所成角和n与所成的角相等5.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（）A.6.8 B.6.9 C.7 D.7.26.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（）A. B. C. D.7.已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（）A. B. C. D.8.已知点Q是单位圆内接正十二边形边上任意一点，设，则a的值可以为（）A22.5 B.23.5 C.24.5 D.25.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲/kg560580570590600乙/kg550600580580590若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（）A.B.C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.乙种水稻的产量有三年位于之间10.莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.如图，在菱形ABCD中，M，N分别为棱AB，CD动点（不含端点），将菱形ABCD沿对角线BD折起，使点A不在平面BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）A.若，则存在点M，N，使得MN与BC垂直B.对任意点M，存在点N，使得与，共面C.对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等D.若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则一定为锐角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若虚数i是方程的一个根，则______.13.设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则______.14.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，若，，，，空间四边形ABCD的体积为，它的外接球体积为，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求；（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.16.为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示.（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；（2）记尺寸在内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置.（1）请直接写出和的数值；（2）求；（3）用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间，并证明：.18.在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.（1）求；（2）设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.（i）若，求证：四边形为等腰梯形；（ii）若，求的取值范围.19.如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角大小为，二面角的大小为.（1）证明：；（2）若，且.（i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值；（ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值.龙岩市2023～2024学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据扇形侧面积公式计算即可.【详解】设圆锥底面半径为r,则，解得，故选：B.2.若复数，则的虚部为（）A.i B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部.【详解】，，所以的虚部为.故选：C3.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由古典概型概率计算公式直接计算即可求解.【详解】符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，第二次取到能打开门的钥匙只有一种选择，从而由古典概型概率计算公式可得所求概率为.故选：B.4.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题错误的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则m与所成的角和n与所成的角相等【答案】C【解析】【分析】根据空间线面间的位置关系判断，根据线线平行与面面平行的性质判断D.【详解】A：若，则，故A正确；B：若，则，故B正确；C：若，则或相交，故C错误；D：若，由线线平行的性质知时，与所成的角相等，当时，由面面平行的性质知与所成的角相等，故D正确.故选：C5.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（）A.6.8 B.6.9 C.7 D.7.2【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可.【详解】男生30人，女生20人,则抽取的时候分层比为．则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为.所以这10人答对题目的方差为.故选：A．6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式可得，根据余弦定理可得，则，即可求解.【详解】由题意知，，又，所以，得，由余弦定理得，所以，得.故选：C7.已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可．【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点.连接，则，过于.四边形为矩形．由于,则，则.由切线的性质知道.则.，．代入计算可得，.故选：D.8.已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（）A.22.5 B.23.5 C.24.5 D.25.5【答案】B【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设，然后表示出，化简得，不妨设在上，表示出线段的方程，则表示出，利用二次函数的性质可求出其范围，从而可求出的范围，进而可求得答案.详解】如图建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，，所以，由正十二边形的对称性，不妨设在上，因为，所以，所以为，即，所以，因为对称轴为，所以的最小值为，最大值为，所以，所以，即，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲/kg560580570590600乙/kg550600580580590若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（）A.B.C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.乙种水稻的产量有三年位于之间【答案】ABD【解析】【分析】根据方差，极差等概念即可求解.【详解】A.，，所以,故A正确；B.,,所以，故B正确；C.甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，甲种水稻产量的极差小于乙种水稻产量的极差，故C错误；D.，所以为，因为,所以,,所以乙种水稻的产量有三年位于之间，故D正确.故选：ABD10.莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据为的重心得出，然后由，即可判断A,根据向量的线性运算即可求解B．根据为外心及向量数量积的计算公式可求出和，从而可求出的值，可判断C的正误；根据，及可判断D的正误.【详解】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，根据重心的性质可知：，D错误；，C正确；为的重心，，，A正确，由于,所以,故B错误，故选：AC．11.如图，在菱形ABCD中，M，N分别为棱AB，CD的动点（不含端点），将菱形ABCD沿对角线BD折起，使点A不在平面BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）A.若，则存在点M，N，使得MN与BC垂直B.对任意点M，存在点N，使得与，共面C.对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等D.若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则一定为锐角【答案】BCD【解析】【分析】A选项，先证得平面ADF垂直于BC，再判断MN与平面ADF关系即可判断选项；B选项，利用空间向量的运算得到，即可判断选项；C选项，先求得MN与AD，BC所成的角，再由题目条件及全等知识可判断选项；D选项，依题意建立间直角坐标系，由直线AB与直线CD垂直，可得关系，后通过正负可判断选项.【详解】A选项，由题可得此时该几何体为正四面体，取BC中点为F，则，又平面ADF，，则平面ADF，要使，则MN与平面ADF平行或共面，但M，N与A，D不重合，则MN不能与平面ADF平行或共面，则MN与BC不垂直，故A错误；Ｂ选项，对任意点M，过M作AD平行线交BD于G，过G作BC平行线交CD于N，则，设，则，则，即对任意点M，存在点N，使得与，共面，故B正确；C选项，对任意点M，在CD上取N，使，作交BD于H，作交BD于L，连接LM，HN.则为NM与AD所成角，为NM与BC所成角.因，，则则，，又由题可得.则，得，从而，则.即对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等，故C正确；D选项，取BD中点为O，设，.如图以OB所在直线为ｘ轴，OC所在直线为ｙ轴建立空间直角坐标系.则.则，.若，则.则，则，即一定为锐角，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题为折叠问题，关键要注意图形折叠前后的变化；此外，利用全等及相似知识，往往可以将复杂的立体几何问题，转化为较好处理的平面几何问题；最后，空间直角坐标系在建立时需选择合适的原点，动态的坐标系则需引入合适的参数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若虚数i是方程的一个根，则______.【答案】1【解析】【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解.【详解】因为i是方程的一个根，所以，即，得，解得，所以.故答案为：113.设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则______.【答案】##0.5【解析】【分析】根据题意分别求得，结合独立事件的定义，可判定事件与不独立，结合计算即可求解.【详解】由题意知，则，且，满足，，所以与不独立，所以故答案为：14.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，若，，，，空间四边形ABCD的体积为，它的外接球体积为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由题意确定的中点为外接球的球心，如图，利用线面垂直的判定定理与性质可得，根据全等三角形的性质可得，则，结合棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】因为，所以的中点为外接球的球心，记外接球半径为，过作，垂足为，连接，又平面，所以平面，由平面，所以.因为，所以，则，取的中点，则.在中，，所以，由得，所以的最大值为，则的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过确定的最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求；（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积垂直的坐标运算求参，再求模即可；（2）先求出,再求出数量积结合投影向量公式计算即可.【小问1详解】因为,所以,所以.【小问2详解】因为所以在上的投影向量为.16.为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示.（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；（2）记尺寸在内产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.【答案】（1），平均数为99.64，上四分位数为102.14，（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1进行求解即可；由平均数和百分位数的计算个数即可求解，（2）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可．【小问1详解】，解得；平均数为由于数据位于的频率为，数据位于的频率为，故上四分位数位于，设为，则，解得，【小问2详解】优等品的概率为，不合格品的概率为，合格品的概率为，故5000件产品中，优等品的个数为，不合格品的个数为，合格品的概率为，故所获利润为故不需要对该工厂设备实施升级改造.17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置.（1）请直接写出和的数值；（2）求；（3）用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币样本空间，并证明：.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据的定义即可求解，（2）的含义可知3次都向右或者3次都向左运动。即可根据相互独立事件的概率公式求解，（3）列出样本空间，结合古典概型概率公式求两事件的概率，完成证明.【小问1详解】，，【小问2详解】表示投掷3次硬币后，质点位于位置或，故3次都向右或者3次都向左运动，故【小问3详解】掷4次硬币的样本空间为：包含的样本点有所以；包含的样本点有所以；故，18.在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.（1）求；（2）设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.（i）若，求证：四边形为等腰梯形；（ii）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得解；（2）（i）借助正弦定理计算可得为中点，从而可结合圆中等弦对等角与内错角相等，两直线平行得到，结合菱形的判定与性质即可得，即可得证；（ii）法一：借助余弦定理可得形状，结