空间向量与向量运算练习 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2空间向量与向量运算练习一、单选题1．给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）．A． B． C． D．2．如图，在底面为正方形的平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个3．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②在正方体中，必有；③若空间向量满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．在空间中，单位向量唯一C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底5．下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，则，的长度相等而方向相同或相反C．若向量，满足，则D．相等向量其方向必相同6．如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（

）A． B．C． D．7．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．8．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（

）A．若，则或B．若，则C．若，则与的夹角为D．在正方体中，10．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（

）A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量B．平行且模相等的两个向量是相等向量C．若，则D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同11．已知，.若，则与的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空题12．如果两个向量和，那么它们互为负向量，记作．13．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，则的最小值为.14．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是.四、解答题15．如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与模长相等的所有向量；(2)若，求向量的模．16．在正四棱台中，.(1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高；(2)若，求的值.参考答案1．D【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④.【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误；空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；所以正确的命题只有个；故选：D.2．C【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解.【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为：，共7个.故选：C．3．B【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题；对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题.故选：B4．D【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误；对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误；对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误；对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确.故选：D.5．D【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误.【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误；对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误；对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确.故选：D.6．C【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】.故选：C.7．D【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角.【详解】设与的夹角为，由，得，两边同时平方得，所以1，解得，又，所以.故选：D8．A【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.【详解】=故选：A.9．BD【分析】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。【详解】对于A，若，但，的方向不确定，A错误；对于B，若，两边平方得，则，B正确；对于C，，则，即得，故，，故，而，故与的夹角为，C错误；对于D，在正方体中，，故四边形为平行四边形，故，故，D正确，故选：BD10．BCD【分析】根据相等向量的有关概念判断．【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，故选：BCD．11．AB【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果.【详解】根据题意，有且，得，解得，；即可得，解得或；因此与的值可以是或.故选：AB12．模相等而方向相反【分析】略【详解】略13．【分析】由题意计算可得，再由，推出，，，再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果.【详解】因为正四面体的棱长为，所以，同理可得，，又因为以为球心且半径为1的球面上有两点，，所以，由，则因为，所以当且仅当取等号，此时，所以，故的最小值为.故答案为：.14．【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解．【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点，所以，则，当点与某个侧面的中心重合时，最小，且，当点与正方体的顶点重合时，最大，且，由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是，的取值范围是．故答案为：15．(1)(2)3【分析】（1）根据向量模长相等判断求解；（2）应用立体图形结合定义求出模长.【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本