48096865二十四节气的数学原理

关于《二十四节气的数学原理》的撰写背景，原普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4的《三角函数》中，在章末《三角函数的应用》一节，有一题与潮汐有关的例题中，出现了地理知识方面的严重错误，该例题把潮汐涨落的周期说成12小时，在海边生活的人都知道，潮汐涨落的周期是12小时24分钟，对于教材而言，这种地理知识方面的错误是不允许的，笔者于2014年就写信向原普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4的主编章建跃博士提出来（有回执），并针对《三角函数》一章的前言讲的“地球自转、公转引起的周而复始的自然现象…”，契合这句话相应提供一个《二十四节气与三角函数》的例题，该例题的重要观点，求一年中任意一天太阳直射地球的纬度的公式y=23.5°sint，在新版普通高中教科书《数学》必修第二册的第五章《三角函数》，于第256页复习参考题5第27道题得以引用。对于当时《二十四节气与三角函数》例题中的观点，笔者自己一时无法提供太多的论据，一时没有形成论文，只是若干年后于霞浦县城龙首路附近（准东经120°），于正午12点进行太阳高度角测量，获得的值与公式y=23.5°sint计算的值相吻合，才有了切实的依据，故才撰写此论文。二十四节气的数学原理福建省霞浦县第三中学尤新国摘要：正如高中数学教材必修4《三角函数》一章的前言讲的“地球自转、公转引起的周而复始的自然现象…”［1］，二十四节气中，太阳直射地球的纬度变化，它是诠释函数y=Asin(ωt+φ)的绝佳例子，也通过函数y=Asin(ωt+φ)帮助学生深刻理解二十四节气的变化规律，并从数学的角度理解春夏秋冬四季划分的依据。关键词二十四节气太阳高度角y=Asin(ωt+φ)春分夏至秋分冬至一引言春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。这是一首耳熟能详二十四节气歌，它所包含的的知识是中华民族优秀的关于自然方面知识的文化瑰宝，对它的学习，能帮助我们深刻认识一年四季气候变化的规律。但是，现在的中学生普遍对二十四节气这个重要的传统文化毫无感知，或一知半解。另一方面，在《三角函数》的这章前言开宗明义的说“现实世界中的许多运动变化有着周而复始的现象，…地球公转引起的四季交替变化…”［2］，但《三角函数》的整章中没有相应的例题习题提供关于这方面的信息内容。事实上，高中数学教材经历多轮修改，《三角函数》一章对学生而言，被认为不容易学好，这章多以符号、公式演绎为主，公式又多，公式与公式之间的推导、演绎成分也多，但能给力的形象素材方面提供较少，即提供给学生作为想象素材的例子不多，而想象是理解的基础。因而《三角函数》的这章相对于其他章节而言，学生学起来不能充分的入心入脑，困难略大一点。为了全面落实立德树人的根本任务，加强中华优秀传统文化教育，创新精神和实践能力培养。笔者经多年的教学实践与思考，借助二十四节气这个传统文化素材来帮助学生更深刻地理解三角函数有关知识，同时也借助三角函数的知识能使学生更深入地认识中华民族这个文化瑰宝，把它更好地应用到日常的生活实践中，达到双赢的结果。二．正午太阳的高度角的测量及通过高度角求太阳直射纬度在高中的数学课本与地理课本都介绍了太阳高度角的问题，正午太阳高度角随着太阳直射地球的纬度的变化而变化。这里太阳直射点纬度以δ表示，观测地地理纬度用Ф表示(以北纬为正，南纬为负)，如图所示，根据平面几何相关性质可得到太阳高度角计算公式，对于太阳位于天顶以北的地区而言H=90°－(Ф－δ)，对于太阳位于天顶以北的地区而言H=90°－(δ－Ф)，二者合并，因为无论是(Ф－δ)还是(δ－Ф)，都是为了求当地纬度与太阳直射纬度之差，不会是负的，因此都等于它的绝对值，所以正午太阳高度角计算公式:H=90°－|Ф－δ|［3］，由上述的公式可以推导得到太阳直射纬度Ф==90°－H+δ或Ф=H-90°+δ。由于受到天气、测量工具、测量人员水平等多种因素的影响，测量产生的数据难免会有一定的误差，我们能否运用数学中的某个函数解析式，根据日期较为精确的求出一年中每一天太阳直射地球的纬度，求出进而太阳高度角，这是可以做到的。三．二十四节气与函数y=Asin(ωt+φ)二十四节气是春秋战国时期形成的，它能反映季节的变化，指导农事活动，影响着千家万户的衣食住行。二十四节气是根据太阳在黄道（即地区绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的。其中春分、夏至、秋分、冬至的四个节气具有一定的指标性，对应于公历的时间是：春分3月21日夏至6月21日

秋分9月23日冬至12月22日来年的春分也是3月21日。这四个节气中春分到夏至，夏至到分，秋分到冬至，冬至到来年的春分都是相隔的时间都是三个多月时间，春分、夏至、秋分、冬至的四个节气太阳的直射地球的位置分别是赤道、北回归线、赤道、南回归线，它们对应的纬度分别是0°、北纬23.5°、0°、南纬23.5°，再加上一个来年春分，并令北纬为正，南纬为负，则春分、夏至、秋分、冬至、来年春分太阳直射纬度分别是：0°、23.5°、0°、－23.5°、0°。以时间为横轴，以纬度为纵轴（北正南负）建立坐标系，春分、夏至、秋分、冬至四个节气所处的时间为横坐标，以太阳直射的纬度为纵坐标，标出来的点如图所示，构成了“五点法”画三角函数图像的“五点”，把“五点”连成图象，如图所示，显然，该图象就是函数y=Asin(ωt+φ)的图象，若横坐标中时间以天为单位，纵坐标以纬度为单位，则A=23.5°（回归线纬度）ω==（周期T=365天）φ=0得到的函数解析式是：y=23.5°sint。我们可以根据这个解析式可求出一年中任意一天太阳直射地球的纬度，如5月1日这天太阳直射地球的纬度，因为5月1日距春分这天（3月21日）是41天，即t=41，所以y=23.5°sin·41=23.5°sin0.225π≈15.3°即5月1日这天太阳直射地球的纬度是北纬15.3°，如果某个地方所处的纬度为北纬30°，5月1日这天该地正午时分太阳的高度角是：H=90°－|Ф－δ|=90°－︱30°－15.3°︱=75.3°再如1月1日这天太阳直射地球的纬度，1月1日在春分之前79天，t=－79，所以y=23.5°sin·（－79）=23.5°sin（－0.433π）≈－22.9°即1月1日这天太阳直射地球的纬度是南纬22.9°，上述地方1月1日这天正午时分太阳的高度角是H=90°－|Ф－δ|=90°－︱30°－（－22.9°）︱=37.1°四．春、夏、秋、冬四季划分的数学依据下图是黄道上二十四节气的分布图根据图中二十四节气把黄道二十四等分，因此每个节气在圆周上相隔2π·=弧度，所以我们也可以由此来方便地求各个节气的太阳直射地球的纬度，如立夏时节是春分之后的第三个节气，其太阳直的四个射地球的纬度y=23.5°sin·3=23.5°sin≈16.5°（在北纬16.5°）同样我们也可求得立春、立秋、立冬时节的太阳直射地球的纬度，立春在春分之前距春分三个节气，立春时节太阳直射地球的纬度为：y=23.5°sin·（－3）=23.5°sin（－）≈－16.5°（南纬16.5°）立秋是春分之后的第九个节气，立秋时节太阳直射地球的纬度为：y=23.5°sin·9=23.5°sin≈16.5°立冬是春分之后的第十五个节气，立冬时节太阳直射地球的纬度为：y=23.5°sin·15=23.5°sin≈－16.5°（南纬16.5°）通过二十四节气歌，可知中国古代春、夏、秋、冬的四季划分标准是：春季，立春其到立夏止；夏季，立夏其到立秋止；秋季，立秋其到立冬止；冬季，立冬其到来年立春止。如图所示，可以从上述图象中看出一年四季太阳照射地球的纬度变化规律。春季，太阳照射地球的纬度变化从南纬16.5°到北纬16.5°，相应气候特征从春寒料峭到春意融融，再到春暖花开。夏季，太阳照射地球的纬度变化在北纬16.5°到23.5°之间，气温为一年中最高，特别是夏至之后的小大暑，由于气温滞后因素的作用，成了一年中最热的节气。秋季，太阳照射地球的纬度变化从北纬16.5°到南纬16.5°，相应气候特征从暑气逼人到秋高气爽，再到寒意袭人。冬季，太阳照射地球的纬度变化在南纬16.5°到23.5°之间，是一年中最冷季节，冬至过后的小大寒，也是由于气温滞后因素的作用，成了一年中最冷的三九严寒。函数y=23.5°sint恰如其分地描述二十四节气的太阳直射地球的纬度变化规律，帮助我们从数学的角度认识二十四节气。［1］普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4P1（人教版）［2］普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4P1（人教版）［3］普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4P61（人教版）