分类加法计数原理讲义 高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

《分类加法计数原理》讲义同学们好，咱们今天开始学习高中湘教版（2019）选择性必修第一册第4章计数原理中的4.1.1分类加法计数原理。这部分内容就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松解决很多有趣的计数问题呢。一、生活中的计数问题咱们先来说说生活中的计数。比如说，我早上出门去上班，要从家到学校。我可以选择坐公交车，也可以选择骑自行车。这就像两种不同的选择方式。有一次啊，我特别着急去学校参加一个重要的会议。我站在门口就想，我到底该怎么去呢？如果坐公交车，我知道有三路车都能到学校附近，这就是三种不同的坐公交的选择。要是骑自行车呢，那就只有一种方式，就是骑我自己的那辆自行车。这时候我就在心里默默算了一下，我总共有多少种去学校的方式呢？其实很简单，就是坐公交的三种方式加上骑自行车的这一种方式，总共是四种方式。这就是一个很简单的计数的例子。二、分类加法计数原理的概念那什么是分类加法计数原理呢？简单来说，如果完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。就像我去学校的例子，坐公交是一类方案，有3种方法，骑自行车是另一类方案，有1种方法，所以总共就有3＋1＝4种方法。这个原理的关键就在于“分类”。每一类方案都要能独立地完成这件事。比如说，还是去学校这个事儿，如果我把坐公交的每一路车都当成一类，那就不对了，因为单独坐某一路车并不能构成一类完整的去学校的方案，而是坐公交这个大方案下的不同方法。再举个例子，咱们学校要组织一场文艺演出，要选一个节目参加区里的比赛。节目可以是唱歌或者跳舞。如果唱歌有5个不同的歌曲可以选择，跳舞有3个不同的舞蹈可以选择，那么总共有多少种选择节目的方式呢？对啦，就是5＋3＝8种。这里，唱歌和跳舞就是两类不同的方案，每类方案下的歌曲数量和舞蹈数量就是各自的方法数。三、分类加法计数原理的推广这个原理可不止能用于两类方案哦。如果完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，以此类推，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。我给大家讲个我朋友开餐馆的事儿。他的餐馆要推出新的套餐。套餐可以分为三类，第一类是主食加饮品，主食有米饭、面条、饺子这3种选择，饮品有可乐、果汁这2种选择，那这一类套餐就有3×2＝6种搭配方式。第二类是主食加小吃，主食还是那3种，小吃有薯条、鸡米花这2种，这一类就有3×2＝6种搭配方式。第三类是主食加甜品，主食不变，甜品有冰淇淋、布丁这2种，这一类也有3×2＝6种搭配方式。那总共的套餐搭配方式就是6＋6＋6＝18种。这里虽然看起来像是分步乘法计数原理，但其实从大的分类来看，这是三类不同的套餐方案，用的就是分类加法计数原理。四、分类加法计数原理的应用1、数字组合问题比如说，我们要用09这10个数字组成一个三位数，要求百位数字不能为0。那我们可以这样分类来计算。第一类，百位数字是19中的任意一个，有9种选择。十位数字可以是09中的任意一个，有10种选择。个位数字同样有10种选择。根据分步乘法计数原理，这一类组成的三位数有9×10×10＝900个。第二类，百位数字是0，这不符合要求，所以这一类的数量是0。最后根据分类加法计数原理，能组成的符合要求的三位数共有900＋0＝900个。2、人员分组问题学校要组织一个志愿者活动，有男生和女生参加。男生有20人，女生有30人。要从这些学生中选一个代表，那可以分为两类，从男生中选有20种方法，从女生中选有30种方法，所以总共有20＋30＝50种选法。3、旅游路线问题假设你想去旅游，有三个不同的旅游目的地可以选择，A地有4条不同的旅游路线，B地有3条不同的旅游路线，C地有2条不同的旅游路线。那么你总共有多少种选择旅游路线的方式呢？对，就是4＋3＋2＝9种。五、分类加法计数原理的注意事项1、不重不漏这是分类加法计数原理最重要的一点。在分类的时候，一定要保证每一种情况都被包含在某一类中，而且任何一种情况不能同时属于两类。比如说，我们统计学校里学生的爱好，不能把既喜欢音乐又喜欢绘画的同学分成两类，这样就重复计算了。我记得有一次学校做调查，统计同学们喜欢的运动项目。有的同学既喜欢篮球又喜欢足球，但是在分类的时候，如果把喜欢篮球的同学归为一类，喜欢足球的同学归为另一类，又单独把既喜欢篮球又喜欢足球的同学再归为一类，那就错了，这样就重复计算了人数。所以一定要明确分类的标准，做到不重不漏。2、分类标准要明确分类的标准要清晰，这样才能准确地计算每一类的方法数。比如说，还是统计学生的爱好，如果一会儿按照运动项目分类，一会儿按照是否是团队运动分类，那就乱套了。就像我们整理书架上的书，如果一会儿按照书的颜色分类，一会儿按照书的厚度分类，最后肯定会一团糟，而且也没办法准确统计每一类的数量。六、课程重点和难点1、重点（1）理解分类加法计数原理的概念，这是基础中的基础。要清楚知道什么是完成一件事的不同类方案，以及每类方案下的不同方法。（2）能够准确地进行分类，并且正确计算每类方案中的方法数。这需要大家有清晰的逻辑思维，能够区分不同的情况。（3）熟练运用分类加法计数原理解决各种实际问题，像我们前面举的那些例子，无论是数字组合、人员分组还是旅游路线等问题，都要能灵活运用这个原理。2、难点（1）如何准确分类。在一些复杂的问题中，可能会有多种分类的方法，但是要找到最合理、最不容易出错的分类方法并不容易。比如在一些几何图形的计数问题中，可能可以按照图形的形状分类，也可以按照图形的大小分类，这时候就要根据具体的问题和已知条件，选择最合适的分类方法。（2）在实际问题中识别分类加法计数原理的应用场景。有些问题可能看起来很复杂，表面上像是其他的数学原理，但是仔细分析后会发现其实是可以用分类加法计数原理来解决的。比如我们前面说的餐馆套餐的例子，很容易混淆成分步乘法计数原理，但实