数系的扩充和复数的概念说课文字稿 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

各位评委老师好，我今天说课的题目是《数系的扩充和复数的概念》。我将从教材分析，目标分析，学情分析，重难点分析，教法学法，教学过程，板书设计七个方面来展开我的说课。首先是教材分析。本节课选自人教A版必修第二册第七章第一节数系的扩充和复数的概念。本节课的学习可以让学生回顾数集扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，进而让学生理解复数的有关概念。本节课是该章的基础课，起始课，具有承前启后的作用。新课标把复数内容从选修变为必修，强调了该部分知识的重要性。新课标中对复数的代数表示式的要求提高，由了解变为理解。第二，学情分析。高一的学生在义务教育阶段已经经历了从自然数集到实数集的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识。这就为本节课类比有理数集扩充到实数集的过程和方法，将实数集扩充到复数集提供了可能，但是由于在现实生活中没有任何事物支持虚数，加之学生对于数系扩充的一般规则不熟悉，所以对虚数单位的引入以及虚数单位和实数进行运算的理解会出现一定困难。第三，目标分析。1.学生通过本节课的学习需要了解数系的扩充过程，理解复数的概念，复数的代数表示式，复数相等的充要条件。2.感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象逻辑推理素养。3.提高学生学习数学的兴趣，拓宽数学视野，认识数学的科学应用与文化价值，增强探索精神。依据以上学情分析以及教学目标，我确定了如下教学重难点。首先教学重点是数集的扩充过程以及复数的概念，复数的分类，复数相等的充要条件，而教学难点在于复数及扩充过程中的数学基本思想，以及复数的代数表示式。根据以上重难点，我提出如下应对策略。首先我会适当介绍数系扩充简史，增强学生学习的生动性。接着通过解方程问题进行引导，借助已有的数扩充经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中出现的规则，感受引入负数的必要性与合理性。第五教法学法分析。科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐统一，我将通过运用数学史材料激发学生的求知欲，设置问题串，采用问题驱动式教学，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则。帮助学生合乎情理的建立新的认知结构。因此我将采用引导探究法，讲授法，发现法等多种教学方法融合，学生主要进行的是探究学习与合作学习。第六，教学过程。教学过程我分为创设情境，方程求解，扩充数集，例题讲解，小结提升，布置作业六个模块。首先创设情境，我将提出第一个问题：请同学们求解一元二次方程，你能得出怎样的两个根？在此学生会尝试解答，并发现该方程无实数根。而用一元二次方程求根公式得出来的两个根出现了负实数开平方的情况。我在此继续追问：无实根的方程有很多，我们能否将类似的方程最终简化为最简单的方程是否有解的问题？带学生简化得出方程之后，我将向学生介绍数系发展的简史：像这样负实数开平方的情况早在1545年，卡尔丹在解方程的过程中就已经遇到了；后来笛卡尔用imaginarynumber来形容这样虚无缥缈的数，叫做虚数；欧拉选择了首字母i作为他的符号，进而将实数集进行了扩充。创设情境时，我用两个问题来引出矛盾，融入简单的数学史上负实数开平方的历程，让学生感受数学新概念的产生是曲折的，我们要学习数学家不屈不挠，精益求精的精神，并由此引出需要扩充数系。学生对于数系的扩充有了初步的了解，但仍不清楚扩充的规则，于是于是我提出第二个问题：请学生在给定数集当中求出方程的解，并联系生活实际谈一谈。在这个问题当中学生对这些方程是比较熟悉的，能够快速的得出方程的解，但这些解并不在给定数集当中，进而需要不断扩充数系，部分学生也能讲出方程的一些实际意义，但不完整。学生讨论得出部分结果之后，我做出补充，一同梳理出从自然数集到实数集的扩充过程及其实际意义，同时板书这些数集之间的关系。在这个问题当中，通过求方程的解来梳理数的发展历史，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两个方面的需求：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要。引入新数就要引入新的运算，而加法和乘法运算是上述数系当中最基本的运算。由此提出第三个问题：数系的每一次扩充加法和乘法运算所满足的性质是否有一致性？由此你能梳理数系扩充遵循的规则吗？学生小组讨论，教师引导分析并做出总结，原数集当中规定的加法和乘法运算在新的数集当中仍然成立，比如有理数与无理数的加法运算，乘法运算等等表示出实数，在此总结数系扩充的一般规则，为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点。梳理出规则之后回归第一个问题：类比从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法使得方程有解吗？经过前面的铺垫，学生能够回答出：给这个方程引入一个新的数，并学着欧拉用字母i来表示，所以归纳出虚数单位的概念：我们引入一个数i，使得，这样它就是方程的解。在这个问题当中帮助学生认识到数学中的复杂问题可以转换为基本问题来解决，培养学生运用类比方法解决问题。问题5：引入新数之后，实数能否与新数i进行加法、乘法运算？请同学们写出运算的组合类比前面有理数与无理数进行的加法乘法运算，学生能够写出类似于，，，等这样具体的数。接着我会继续追问，你能写出一个形式把大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？引导学生用实数a，b与虚数单位i进行加法乘法运算，而，当时只能表示出一个虚数i，在时只能表示出一个实数0，所以这两个形式都无法表示出所有的新数。于是引导学生提出用来表示这个新的数。由此引出复数的概念：把形如，这样的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，我将在黑板上板书出概念和表示式，并标出实部和虚部。通过以上问题导学由特殊到一般抽象概括出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用。得出概念之后，让学生快速口头回答以下复数的实部虚部分别是什么？通过这几个简单实部虚部的辨别，学生会发现这些例子当中有一些特殊情况，有的实部为零，有的虚部为零，进而引出复数的分类，再次让学生自行思考理解，强化学生对于新数系扩充之后的理解，掌握新旧数系数集之间的关系。有了基本概念之后，让学生自行阅读教科书。说出两个复数和相等的含义。接着教师做总结，一个复数由虚部和实部唯一确定，与有序数对一一对应，所以两个复数相等的充要条件就是他们的实部和虚部分别相等。这里是从保证集合中元素的互异性出发，研究两个新数相等的含义。并由复数相等的定义出发得到复数实际上是一个有序实数对，为研究复数的几何意义奠定基础。问题七，复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间存在着怎样的关系？在此引导学生用Veen图表示出这些数集之间的关系，深化学生对复数集是实数集的扩充以及对复数的理解。通过以上问题串的引导，学生已经基本能够理解复数的概念。得到复数表示式，清楚复数相等的充分必要条件。接着我会通过以下例一，例二，例三，帮助学生进行当堂的巩固理解。在此通过例题巩固复数的概念和分类标准，以及复数相等的含义，使学生在问题解决的过程中内化复数相等概念，提升学生解决问题的能力。课堂的最后进行本节课的小结，让学生自主思考本节课有哪些收获？使学生对本节课的学习有一个全面系统的认识。本节课的作业，我布置教材的练习题作为必做题，提供选做题：类比数的几何意义分析复数有没有几何意义？考虑到学生的认知差异，基于作业内容的巩固性和发展性为出发点，分层布置作业，设计必做题和选做题。必做题是针对本节课学习内容的检验和反馈，选择题是为下节课的学习做铺垫。以上是我本节课的板书设计。教学评估，本节课的教学，我主要是采用问题驱动式教学模式，从概念产生的背景到概念的建立辨析，再到概念的应用，层层深入，最后通过评价来检测教学目标的达