2025届北京101中学高一上数学期末统考试题含解析

2025届北京101中学高一上数学期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．化简

的值为A. B.C. D.2．已知，若，则m的值为（）A.1 B.C.2 D.43．角度化成弧度为（）A. B.C. D.4．已知幂函数过点则A.，且在上单调递减B.，且在单调递增C.且在上单调递减D.，且在上单调递增5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A. B.C. D.6．对于函数，下列说法正确的是A.函数图象关于点对称B.函数图象关于直线对称C.将它的图象向左平移个单位，得到的图象D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象7．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则8．已知定义域为的函数满足，且，若，则（）A. B.C. D.9．为了得到函数，的图象，只要把函数，图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是________.12．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是______13．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.14．计算的结果是_____________15．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______16．的值为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知曲线：.（1）当为何值时，曲线表示圆；（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.18．设矩形的周长为，其中，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，.（1）将表示成的函数，并求定义域；（2）求面积的最大值.19．如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.20．已知函数()（1）求在区间上的最小值；（2）设函数，用定义证明：在上是减函数21．已知函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象.若在上至少有个零点，求的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据两角和的余弦公式可得：，故答案为C.2、B【解析】依题意可得，列方程解出【详解】解：，，故选：3、A【解析】根据题意，结合，即可求解.【详解】根据题意，.故选：A.4、A【解析】由幂函数过点，求出，从而，在上单调递减【详解】幂函数过点，，解得，，在上单调递减故选A．【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，并判断其单调性，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、D【解析】答案：D左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案6、B【解析】，所以点不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于,,A错．，所以直线是对称轴，对称轴需要满足整体角等于，，B对．将函数向左平移个单位，得到的图像，C错．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像，D错，选B.（1）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（2）三角函数图像平移：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象7、D【解析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.【详解】A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D8、A【解析】根据，，得到求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，，故选：A9、C【解析】利用辅助角公式可得，再由三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】解：，，为了得到函数，的图象，只要把函数，图象上所有的点向左平移个单位长度故选：C．10、C【解析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可.【详解】由函数的解析式可知函数为定义在R上的增函数，且函数为奇函数，故不等式即，据此有，即恒成立；当时满足题意，否则应有：，解得：，综上可得，实数的取值范围是.本题选择C选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.【详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，当时，函数取最小值2，令，则，或，若函数在上的最大值为3，最小值为2，则，故答案为：.12、【解析】根据角的终边与角的终边相同,得到,再得到,然后由列式,根据,可得整数的值,从而可得.【详解】∵（），∴（）依题意，得（），解得（），∴，∴在内与角的终边相同的角为故答案为【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题.13、10【解析】根据，可得函数是以2为周期的周期函数，函数在区间内的零点的个数即为函数交点的个数，作出两个函数的图像，结合图像即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以函数是以2为周期的周期函数，令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，由图可知函数有10个交点，所以函数在区间内的零点有10个.故答案为：10.14、.【解析】根据对数的运算公式，即可求解.【详解】根据对数的运算公式，可得.故答案为：.15、【解析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案【详解】设球的半径为，由圆柱的性质可得，圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，因为圆柱的底面半径为，高为2，所以，，因此，这个球的表面积为，故答案为【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对基础知识的理解与应用，属于中等题16、【解析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可【详解】三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由圆的一般方程所满足的条件列出不等式，解之即可；（2）将转化为，即，然后直线与圆联立，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可.【详解】（1）由，得.（2）设，，由得，即.将直线方程与曲线：联立并消去得，由韦达定理得①，②，又由得；∴.将①、②代入得，满足判别式大于0.18、（1），；（2）【解析】（1）由题意得，则，根据，可得，所以，化简整理，即可求得y与x的关系，根据，即可求得x的范围，即可得答案；（2）由（1）可得，，则的面积，根据x的范围，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：，则，因为在和中，，所以，即，所以在中，，所以，化简可得，因为，所以，解得，所以，；（2）由（1）可得，，所以面积，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时面积，即面积最大值为【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.19、（1）证明见解析（2）【解析】本题主要考查直线与平面、点到面的距离，考查空间想象能力、推理论证能力（1）证明：∵点E为的中点，且为直径∴，且∴∵FC∩AC=C∴BE⊥平面FBD∵FD∈平面FBD∴EB⊥FD（2）解：∵，且∴又∵∴∴∵∴∵∴∴∴点到平面的距离点评：立体几何问题是高考中的热点问题之一，从近几年高考来看，立体几何的考查的分值基本是20分左右，其中小题一两题，解答题20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知得函数的对称轴，开口向上，分别讨论，，三种情况求得最小值；（2）利用函数单调性的定义可得证【详解】（1）因为的对称轴，开口向上，当，即时，；当，即时，；当，即时，，所以；（2），设，则，，所以，所以，所以在上是减函数【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：1、在区间D上，任取，令；2、作差；3、对的结果进行变形处理；4、确定符号的正负；5、得出结论21、（1）；（2）.【解析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简