2025届山西省西安中学高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届山西省西安中学高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.2．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A. B.C. D.3．若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B.C.1 D.5．命题“”为真命题一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.6．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.7．过两点和的直线的斜率为（）A. B.C. D.8．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A. B.C. D.9．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最大值为（）A. B.C. D.10．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）A. B.C.2 D.11．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线12．如图所示，已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从某校随机抽取某次数学考试100分以上（含100分，满分150分）的学生成绩，将他们的分数数据绘制成如图所示频率分布直方图．若共抽取了100名学生的成绩，则分数在内的人数为___________14．已知椭圆()中，成等比数列，则椭圆的离心率为_______.15．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.16．圆的圆心坐标为___________；半径为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某公司有员工人，对他们进行年龄和学历情况调查，其结果如下：现从这名员工中随机抽取一人，设“抽取的人具有本科学历”，“抽取的人年龄在岁以下”，试求：（1）；（2）；（3）.18．（12分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值19．（12分）已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是（1）求a、b的值；（2）求函数的极值.20．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.21．（12分）已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为，且椭圆C1与抛物线C2：y2=2px（p>0）在第一象限的交点为Q，已知.（1）求的面积（2）求抛物线C2的标准方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，从而即可求解.【详解】解：由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以双曲线C的离心率，故选：B.2、D【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.故选：D.3、D【解析】将方程化为标准式即可.【详解】方程化为标准式得，则.故选：D.4、B【解析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得.故选：B5、B【解析】求解命题为真命题的充要条件，再利用集合包含关系判断【详解】命题“”为真命题，则≤1,只有是的真子集,故选项B符合题意故选：B6、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D7、D【解析】应用两点式求直线斜率即可.【详解】由已知坐标，直线的斜率为.故选：D8、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故.故选：A.9、D【解析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.【详解】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.10、A【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；故选：A11、A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、D【解析】由题设可得，直线的方程为，点线距离公式表示到直线的距离，又联立解得即可得出答案.【详解】且，则△是等边三角形，设，则①，∴直线方程为，即，∴到直线的距离为②，又③，联立①②③，解得，，故椭圆方程为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、30【解析】根据频率分布直方图中所以小矩形面积和为1，可得a值，根据总人数和频率，即可得答案.【详解】因为频率分布直方图中所以小矩形面积和为1，所以，解得，所以分数在内的人数为.故答案为：3014、【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，然后结合的自身范围解方程即可求出【详解】∵成等比数列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题15、160【解析】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为，∴此样本中男生人数为，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题16、①.②.【解析】配方后可得圆心坐标和半径【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，圆心坐标为，半径为故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；（2）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得；（3）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由表格中的数据可得.【小问2详解】解：由表格中的数据可得，所以.【小问3详解】解：可知即岁以下且专科学历，所以.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连接，交于点，∵四边形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中点，连接，∵是边长为4的菱形，，∴，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，同理可得，平面的一个法向量为，∴，由图知，平面与平面所成角为锐角，故平面与平面所成角余弦值为19、（1）；（2）答案见解析【解析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出，（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值【详解】（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是，所以切线斜率是，且，求得，即点又函数，则所以依题意得解得（2）由（1）知所以令，解得或当，或；当，所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是所以当变化时，和变化情况如下表：0极大值极小值所以，20、（1）（2）【解析】（1）根据所求双曲线与有共同的渐近线可设出所求双曲线方程为，在根据点在双曲线上，代入双曲线方程中即可求解.（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出的关系，再根据中点坐标公式求出线段的中点的坐标，代入圆方程即可求解.【小问1详解】由题意，设双曲线的方程为，则又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：【小问2详解】由，消去整理，得，设，则因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，解得.，所以则中点坐标为，代入圆得，解得.实数的值为21、（1）（2）是定值，定值为【解析】(1)由抛物线的准线求标准方程；(2)直线与抛物线相交求定值，解联立方程消未知数，利用韦达定理，求线段长，再求它们的倒数的平方和.【小问1详解】由题意，可