安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2025届高二数学第一学期期末经典试题含解析

安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2025届高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（）A.：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题B.：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题C.：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题D.：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题2．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.3．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）A. B.C. D.4．如图在中，，，在内作射线与边交于点，则使得的概率是（）A. B.C. D.5．已知直线l，m，平面α，β，，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64007．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（）A B.C. D.8．已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面.设有两个命题：：若，则；：若，则.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.9．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B.C. D.10．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.11．在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高（）A1 B.C. D.12．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，满足不等式组，则的最大值为________.14．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________；若，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.15．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的任意一点，点，则的最小值为______.16．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列，，，为其前n项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和18．（12分）设数列的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）设且前项和为，求19．（12分）已知，，分别是锐角内角，，对边，，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的值.20．（12分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值21．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积22．（10分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；故选：A2、C【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.【详解】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得故选:C【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.3、D【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.故选：D4、C【解析】由题意可得，根据三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质，将转化为求的概率，又因为，，从而可得的概率【详解】解：在中，，，所以，即，要使得，则，又因为，，则的概率是故选：C【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题5、A【解析】由题意可知，已知，，则可以推出，反之不成立.【详解】已知，，则可以推出，已知，，则不可以推出.故是的充分不必要条件.故选：A.6、D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.7、B【解析】由几何概型公式求解即可.【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，故选：B8、B【解析】利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断2个命题的真假，再利用复合命题的真值表判断选项的正误即可【详解】，表示两条不同直线，，表示两个不同平面：若，，则也可能，也可能与相交，所以是假命题，为真命题；：令直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则，则，所以是真命题，所以为假命题；所以为假命题，是真命题，为假命题，是真命题，所以为假命题故选：9、A【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A10、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B11、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后将高看作为向量在平面ABC的法向量上的投影的绝对值，则答案可求.【详解】设平面ABC的法向量为，而，，则,即有,不妨令,则,故,设三棱柱的高为h，则,故选：D.12、D【解析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解析】作出不等式区域,如图所示:目标最大值,即为平移直线的最大纵截距,当直线经过点时最大为10.故答案为10.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14、①.②.3【解析】由渐近线方程知，结合双曲线参数关系及离心率的定义求双曲线的离心率，由已知可得右焦点为，应用点线距离公式求距离.【详解】由题设，，则，当时，，则双曲线为，故右焦点为，所以右焦点到渐近线的距离为.故答案为：，3.15、【解析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可.【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，∴的最小值为.故答案为：.16、【解析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件B：猫的寿命超过12岁.依题意有，，则一只寿命超过10岁猫的寿命超过12岁的概率.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)按照所给条件，先算出的表达式，再按照与的关系计算,；(2)裂项相消求和即可.【小问1详解】由题可知数列是等差数列，所以，，又因为，所以；【小问2详解】所以；故答案为：，.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；（2）计算，利用并项求和法可求得.【小问1详解】证明：对任意的，，则，且，故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.【小问2详解】解：，所以，，因此，.19、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根据题意得到，再由关于角的余弦定理和整理化简得，再由的面积，即可求出的值.【小问1详解】由及正弦定理可得.小问2详解】由锐角中得，根据余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明，则，可证明，由平面，可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）连结，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中由余弦定理计算的值即可求解.【小问1详解】在正方形中，，分别为棱，的中点，则，，，所以，则，所以，即，又因为平面，面，所以，因为，所以平面【小问2详解】连结，，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，令，则，，，在中，由余弦定理可得：，故异面直线与所成角的余弦值为.21、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，所以切线的斜率，切线过