2025届安徽省合肥一中高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

2025届安徽省合肥一中高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元 B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率（）A. B.C. D.4．在x轴与y轴上截距分别为，2的直线的倾斜角为（）A.45° B.135°C.90° D.180°5．在中，、、所对的边分别为、、，若，，，则（）A. B.C. D.6．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.7．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）A. B.C. D.8．已知集合，从集合A中任取一点P，则点P满足约束条件的概率为（）A. B.C. D.9．在中，，满足条件的三角形的个数为（）A.0 B.1C.2 D.无数多10．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）A.1条 B.2条C.3条 D.0条11．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=012．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______14．直线与圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为________15．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________16．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，是棱长为的正方体，是棱的中点，是棱的中点（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距离18．（12分）已知数列的首项，其前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，且，求n.19．（12分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.（1）求椭圆的方程;（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.20．（12分）数列中，，且.（1）证明；数列是等比数列.（2）若，求数列的前n项和.21．（12分）已知抛物线：上的点到其准线的距离为5.（1）求抛物线的方程；（2）已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标.22．（10分）已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数的单调性，进而得出，变形即可得出结果.【详解】令，则，又，所以，令，令，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以，即，则.故选：C2、B【解析】，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程3、D【解析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到，利用离心率公式即可求得答案.【详解】∵，∴，故，故选：D4、A【解析】按照斜率公式计算斜率，即可求得倾斜角.【详解】由题意直线过，设直线斜率为，倾斜角为，则，故.故选：A.5、B【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.【详解】根据题意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故选：B.6、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B7、A【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.【详解】解：依题意，即，所以，所以，由于，所以故选：A8、C【解析】根据圆的性质，结合两条直线的位置关系、几何概型计算公式进行求解即可.【详解】，圆心坐标为，半径为，直线互相垂直，且交点为，由圆的性质可知：点P满足约束条件的概率为，故选：C9、B【解析】利用正弦定理得到，进而或，由，得，即可求解【详解】由正弦定理得，，或，，，故满足条件的有且只有一个.故选：B10、B【解析】过的直线的斜率存在和不存在两种情况分别讨论即可得出答案.【详解】易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点.当直线的斜率存在时，设直线方程为，与联立得，当时，方程有一个解，即直线与扰物线只有一个公共点.故满足题意的直线有2条.故选：B11、A【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得则所求直线方程为．故A正确【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为12、D【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】根据导数几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，，又在切线上，所以，则=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14、【解析】由于直线过定点，所以当时，弦AB的长度最短，然后先求出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出三角形ABC的面积【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为，所以当时，弦AB的长度最短，因为，所以，所以三角形ABC的面积为，故答案为：15、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，则所以又因为所以故答案为：16、或【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，所以，则，且切线斜率，即，所以切线方程或，整理得或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，利用空间向量法可求得到平面的距离.【小问1详解】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的坐标系则、、、、、、，所以，，设平面的一个法向量为，，，由，取，可得，所以，，直线与平面所成角的正弦为小问2详解】解：设平面的一个法向量，，，由，即，令，得，，所以点到平面的距离为即到平面的距离为18、（1）（2）【解析】（1）由条件得，则利用等差数列的定义可得答案；（2）利用裂项求和求出，再根据可求出n.【小问1详解】由得，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；【小问2详解】由（1）得，由得又，所以.19、（1）（2）【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.（2）首先设，，再根据求解即可.【小问1详解】由题意，，因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为3，可得，解得.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，∴，∴，从而，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知，则，∴，∴.21、（1）（2）或【解析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.（2）设，根据三角形的面积列方程，求得的值，进而求得点的坐标.【小问1详解】由抛物线的方程可得其准线方程，依抛物线的性质得，解得.∴抛物线的方程为.【小问2详解】将代入，得.所以，直线的方程为，即.设，则点到直线的距离，又，由题意得，解得或.∴点的坐标是或.22、（1）；（2）【解析】（1）先分别求出命题