五节对坐标曲面积分_第1页
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文档简介

观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面可分为上侧和下侧曲面可分为内侧和外侧通常光滑曲面都有两侧.11.5对坐标的曲面积分11.5.1双侧曲面有两侧的曲面.(1)双侧曲面曲面的分类规定:法向量的方向来区分曲面的两侧.(2)单侧曲面莫比乌斯(Möbius)带.B、C粘在一起形成的环这在双侧曲面上是不能实现的.决定了侧的曲面称为有向曲面.它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以爬到任何一点去.流量(斜柱体体积)问题11.4(流量问题)——流向曲面一侧的流量.(为平面A的单位法向量)(1)

流速场为常向量有向平面区域

A,11.5.2对坐标的曲面积分的概念求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).(2)设稳定流动的不可压缩流体给出,函数流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)的速度场由当不是常量,Σ有向曲面Σ是速度场中的一片有向曲面,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量Ф.考察有向曲面Σ上的微元dS,则dS可以由Σ在点(x,y,z)处的任取dS也表示其面积,切平面代替,dS的方向由Σ在点(x,y,z)处的方向向量确定.于是积分得我们先研究

设曲面Σ的方程由则曲面的方向可以取上侧或下侧,

其中上侧的方向向量为下侧的方向向量为上侧的方向余弦为下侧的方向余弦为设Σ在xOy面上的投影区域为因函数

f(x,y,z)在Σ上连续,故曲面Σ的方向取上侧时,

曲面Σ的方向取下侧时,

定义11.5设因被积函数

f(x,y,z)中点(x,y,z)在Σ上,我们引入记号Σ在点(x,y,z)的方向余弦为

则分别称作函数

f(x,y,z)

在有向曲面Σ上,或称第二类曲面积分.对坐标x,、y,坐标y、z和坐标z、x的曲面积分,二重积分号前取正号；二重积分号前取负号.二重积分号前取正号；二重积分号前取负号.组合形式注意:(2)当曲面Σ母线平行于z轴的柱面时,表示Σ相反的一侧解11.5.3对坐标的曲面积分的计算例1计算其中Σ是旋转部分的下侧.抛物面得曲面下侧的方向向量为其中注意到:解投影域例2计算其中Σ是球面外侧在的部分.解例3计算

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