大学物理磁场习题

1大学物理习题讨论、探索发现稳恒电流的静磁场磁场中的磁介质电磁场探索与发现

21.如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心O处的磁感应强度。解：设单位弧长上电流线圈匝数为n，则沿弧长取dl，该圆电流在球心O处激发的磁场为

公式14.19作业:14.8球心O处总的磁感强度B为

由图可知：

得：

磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。

32.（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同。）两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2=R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场。xxO2IORO12aIR[证明]

一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线上产生的磁感应强度大小为：

作业:14.4公式14.19设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为

方向相同，总场强为B=B1+B2．

设k=μ0IR2/2，则

4一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一个拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零．公式14.195B对x求一阶导数得

求二阶导数得

在x=0处d2B/dx2=0，得R2=4a2，所以2a=R．

x=0处的场强为试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场。63.一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b=R–a，导体截有均匀分布的电流I．证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值.证：导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为δ，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的．baRO1O2如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为

S=

r2，包围的电流为ΣI=

S=

r2

，根据环路定理可得方程2

rBr=

0ΣI，磁感应强度为方向与矢径r垂直．

同理，密度为-

的电流在P点产生的磁感应强度为

方向与矢径r′垂直．rPBr作业:14.18baRO1O27设两个磁感应强度之间的夹角为

，则合场强的平方为根据余弦定理，如图可知：由于

=

,所以

由于b和

都是常量，可见：长孔中是均匀磁场．

baRO1O2BrrP

84.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T

的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在4.510-3S

的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？

解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即但在求解时应注意下列几个问题：

1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。

2．

应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由

计算。对于均匀磁场则有其中

为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。9对于本题，

1和

2为两半圆形平面法线与B之间的夹角。

3．感应电动势的方向可由-d/dt来判定，教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值，这对符号确定较为有利。

迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，有

，说明感应电动势方向与回路正向一致。

105.如图所示，真空中一长直导线通有电流I(t)=I0e

t

，式中为t时间，I0

、

为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共面。设时刻t二者相距为a，矩形框正以速率v

向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线框的磁通量(由长直电流所提供)为其中a也是随时间变化的，而且da/dt

=

v，有参考：习题16.1011由法拉第电磁感应定律得显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和。在中固定a，仅对t求导数得感生电动势126.长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流

I=I0sin

t

时，求直导线中的感应电动势。

解:如果在直导线中通以电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B=

0I/2

r．在矩形线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为互感系数为

当线圈中通以交变电流I=I0sin

t时，直导线中的感应电动势大小为

M12=M21=MIbcaM=？参考：习题16.17137.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度为B的均匀磁场中，当导线以速率v

水平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高？

解1：如图所示，假想半圆形导线OP在宽为2R的静止在“[

”形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路。设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距“[”形导轨左侧距离为x，

穿过该闭合回路的磁通量：由于静止的“[”形导轨上的电动势为零，则导线中感应电动势负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。14解2：建立如图所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl，则由矢量的指向可知，端点P的电势较高。

解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量

ld由法拉第电磁感应定律

可知:由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。Up>U0158.如图所示，一长为l，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成

角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。

参考：习题16.4分析：感应电流所受安培力的方向？如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA

，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为

16导体棒沿轨道方向的动力学方程为将式(1)代入式(2)，并令则有分离变量并两边积分

得

由此得导体在t时刻的速度

17此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其v－t图线如图所示。

1978年全国高考物理试题由上式可知，当由此得导体在t时刻的速度

中学:斜面方向合力为零,导体棒达到下滑的稳定速度(最大速度).189.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为证1：取闭合回路

OPQ,由法拉第电磁感应定律，有OP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径向垂直，与矢量点积为0。所以：19证2：在r＜R

区域，感生电场强度的大小设PQ上线元dx处，Ek的方向如图所示，则金属杆PQ上的电动势为20D[]继续讨论:在圆柱空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示。B的大小以速度dB/dt变化。在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB

和弯曲的导线AB

，则电动势只在导线AB

中产生。电动势只在AB导线中产生。电动势在AB和AB中都产生，且两者的大小相等。

AB导线中的电动势小于AB导线中的电动势。连接AO与OB分别与AB、AB

组成闭合回路L。

包含AB的闭合回路L扇形面积S1包含AB的闭合回路L三角形面积S2

B/

t一致，且S1>S2AB导线中的电动势小于AB

线中的电动势。2110.两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M．(1)将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；(2)将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．参考：习题16.191234(a)234(b)1解：两个线圈串联时，通以电流

I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和：（16.16）221234(a)234(b)1（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，

=

0，所以（16.19）自感系数为（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，

=

，所以自感系数为2311.电磁涡流制动器是一个电阻率为

，厚度为b的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为

时，试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。raaBωb解:将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和b的小导体，其横截面积为

S=ab，aabSI电流将从横截面中流过，小块长a，因此其电阻为宽为a的边扫过磁场，速度大小为v=r

，产生的动生电动势为

=Bav

=Bar

，通过小导体的电流强度为I=

/R=Bar

b/

，所受的安培力为F=IaB=B2a2r

b/

，方向与速度方向相反．产生的磁力矩为参考：习题16.524PASCO磁悬浮实验装置二十世纪七十～九十年代间，由于磁悬浮技术应用于陆地高速运输系统的可能性，在全球掀起了一股研究磁悬浮及相关技术的热潮。八十年代末美国著名物理学教授ThomasD.Rossing得到美国国家自然科学基金的资助，研究非磁性金属导轨热膨胀缝宽度对高速运行的磁悬浮列车稳定性的影响。以永磁体和运动非磁性导体模拟磁悬浮列车与导轨的相互作用，发明了一种实验装置对二者的相互作用力进行测量。探索与发现（湖南大学物电院版）25工作原理磁悬浮力和水平拽力可定性地由磁通穿透金属的行为来理解。当非磁性导体在磁体下方运动得足够快时，磁通不能穿透导体，磁通在磁体与运动导体间被压缩而产生浮力，磁通不能穿过运动导体被导体拖拽并由此产生水平方向的拽力。PASCO磁悬浮实验装置26但当测力杠杆与半径不重合时，前述的解释与观察到实验现象矛盾。原因何在？圆盘转动方向杠杆支点圆形永磁体向上的磁悬浮力，难道与相对运动速度的方向有关！？27实验现象的解释磁体磁场分布设铝盘上方的磁体N朝下，由于磁通是闭合的，可将导体中的磁感应强度分解为水平分量和垂直分量。如下图所示：磁体对称轴两侧的磁场垂直分量相同，水平分量方向相反。磁体永磁体非磁性运动导体导体中感应电流的分布为了简化起见，假设是一个长方形的永磁体下方有一无穷大的运动非磁性导体。在不考虑电流回路中电感的情况下，运动导体中产生的感应电流在磁场区域呈对称分布。1.欧姆定律的微分形式

2.

电阻最小原理Matlab

数据计算与图形处理28磁体导体运动方向在磁体磁场的分量Bv的作用下:感应电流在垂直方向磁场中受水平磁阻尼力感应电流垂直于运动方向向外永磁体受水平拖拽力磁体中心对称轴在磁体磁场的分量Bh的作用下:磁体投影区域导体内感应电流在左右两半边水平磁场中受力方向不同,如图所示.29磁体导体运动方向在磁体磁场的分量Bv的作用下:感应电流在垂直方向磁场中受水平磁阻尼力感应电流垂直于运动方向向里永磁体受水平拖拽力磁体中心对称轴在磁体磁场的分量Bh的作用下:磁体投影区域导体内感应电流在左右两半边水平磁场中受力方向不同,如图所示.30导体运动方向永磁体受水平拖拽力导体运动方向永磁体受水平拖拽力圆盘转动方向杠杆支点圆形永磁体力臂L力臂L'圆盘转动方向杠杆支点圆形永磁体力臂L力臂L'磁体(向上)悬浮磁体(向下)无悬浮31一种全新的非接触驱动方式

若在磁体的中心对称轴位置上安装一转动轴，磁体就可在运动导体的驱动下作旋转运动。这是一种全