数学课后导练：二面角及其度量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.在60°的二面角α-a—β内有一点P，P到α、β的距离分别为3和5，求P到棱a的距离（）A。B.C.14D。答案:A2.已知α-l-β为直二面角，A、B在l上，AC、BD分别在面α、β内,且AC与l的夹角为45°(如下图的位置），BD⊥l,AC=，AB=2,BD=4，求CD的长(）A.B.C。D。4答案：C3。过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（)A.30°B。45°C.60°D。90°答案：B4.在梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90°,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,则二面角P—CD-A为_______________。答案:arctan5.如右图，ABCD是正方形,E是AB的中点，如果将△DAE和△CBE分别沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，求面PCD与面ECD所成的二面角_________________.答案：30°6。如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角A—BC—S的平面角。设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°。∴BC=a，SO=a,AO2=AC2-OC2=a2—a2=a2.∴SA2=AO2+OS2.∴∠AOS=90°.从而平面ABC⊥平面BSC。7.如右图，PA⊥平面ABC,AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.解：如题图,作CH⊥AB于H,因为PA⊥平面ABC，所以CH⊥PA,从而CH⊥平面PAB.作HD⊥PB于D,连结CD,由三垂线定理得CD⊥PB,所以∠CDH为二面角A—PB—C的平面角.在Rt△ACB中，CH=。∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1，在Rt△CHD中，sin∠CDH==.故二面角A—PB-C的大小是arcsin。8.如右图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A—BD1解：过P作PF⊥AD1于F,∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥PF，∴PF⊥平面ABD1。由点F作FE⊥BD1于E,连结EF，则PE为平面ABD1的斜线，EF为PE在平面ABD1内的射影，则PE⊥BD1.∴∠PEF为二面角A—BD1—P的平面角.∵Rt△AFP∽Rt△ADD1,∴，∴PF=。在△PBD1中，PD1=PB=，∵PE⊥BD1，∴BE=BD1=.在Rt△PBE中，PE=，在Rt△PEF中，sin∠PEF=,∴∠PEF=30°,∴二面角A-BD1—P的大小为30°。9。如右图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ-ABCD中，∠ABC＝90°,ＳA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝。求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。解析：如右图，延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB.∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线。又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影。∴CS⊥SE。∴∠BSC是所求二面角的平面角.∵SB=,BC=1,BC⊥SB，∴tan∠BSC=，即所求二面角的正切值为。综合运用10。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AB、BC、DD1的中点。求二面角M-B1解：用三垂线定理求二面角.BE⊥B1N，Q点为垂足，∵MB⊥平面BB1N，BQ为斜线MQ在平面BB1中的射影，且BQ⊥B1N，∴MQ⊥B1N。∴∠BQM为二面角M-B1N—B的平面角。设AB=1,在Rt△BEC中，BC=1，BE=,cos∠NBQ=。在Rt△BNQ中,BQ=BNcos∠NBQ=·=。在Rt△MBQ中,tan∠MQB===，sin∠MQB=.∴二面角M—B1N—B的正弦值为.11.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1=AB=1,M是CC1的中点，求面A1解:对无棱二面角传统方法是先做出棱来，本题延长A1M交AC于N，连接BN,则可确定∠A1BA是所求二面角之平面角。以向量法解决这一类问题可以回避做图找角的过程。这里只要求出两半平面的法向量，求法向量夹角就可以了。简解:如右图建系，设面A1MB的法向量n=（1,m，n),由·n=0、·n=0,得m=,n=。又面ABC的法向量p=(0,0，1)，可解得cos〈n,p〉，即<n,p>=45°.因此，所求二面角的大小为45°.拓展研究12。如下图，几何体∠APC=90°，∠APB=60°,PB=BC=4,PC=3，求二面角B—PA-C的大小。解析：作BD⊥AP,D为垂足,∵CP⊥AP，∴二面角B-PA—C的大小等于〈，〉.在Rt△PBD中，BD=PB·sin∠BPA=4·sin60°=23，DP=BP·cos∠BPA=4·