数学课后导练：7向量应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.已知A(1,2），B(3,4),则AB中点的坐标是（）A.（2，3）B.(-2，-3）C。(,）D。（3，2）解析：设AB中点为C（x，y）,则x==2,y==3,∴C(2，3)。答案：A2。某人用50N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8kg的木箱沿水平平面运动了20m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10m/s2，则摩擦力f所做的功为()A。42JB.-42JC.22JD.—22J解析:由数量积的物理意义,只需求出摩擦力f的大小，及它与位移的夹角即可.｜f|=（80+50×sin30°)×0.02N=2.1N，又f与位移所成的角为180°，∴f·s=｜f｜｜s|cos180°=2。1×20×（—1）J=—42J。答案：B3.三点A（x1,y1）,B（x2,y2），C(x3,y3)共线，则有…(）A。x1y2-x2y1=0B.x1y3-x3y1=0C.（x2—x1）（y3—y1）=(x3—x1）(y2—y1）D。（x2-x1）（x3-x1)=（y2—y1)(y3-y1)解析:=(x2-x1,y2-y1）,=(x3-x1,y3-y1)，∵AB∥AC，∴(x2-x1）（y3—y1)-（x3—x1）(y2-y1）=0.答案：C4.已知a=(1，2）,a⊥b,则b可以是（）A.（-4，2）B。(2，-4)C。（2，1)D。（—2，—1）解析：把选项通过x1x2+y1y2=0检验知b可以是（-4，2).答案：A5。某人向正东走xkm后,又向右转150°，然后朝新方向走3km.结果他离出发点恰好km,那么x的值等于（）A。3B.C。或D.3解析：设向量a为“向东走xm”,则|a|=x,设向量b为“朝新方向走km”,则|b｜=3，且a与b的夹角为150°,离出发点为km，即｜a+b|=。由分析知｜a+b|=，∴a2+2a·b+b2=。∴x2+6x·cos150°+9—3=0,即x2-x+6=0。解得x=或。答案:C6。已知向量=（k，12），=(4,5)，=(-k,10），且A、B、C三点共线,则k=________。解析：=(k，12）,=（4,5)，=（-k，10）。∵A、B、C三点共线，∴∥。∵=（k—4，12-5），=(4+k，5-10），∴(k-4)·(5—10)-（12—5)(4+k）=0，解之得k=。答案：7。以原点和点A(4，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°,则向量的坐标为________.解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解.设=（x，y）,则=（x-4,y—2）.由已知故B（1，3）或B(3，-1).∴=(-3,1）或(—1，—3)。答案:(-3,1)或（-1，-3）8。如右图所示，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是（1，2)，E点的坐标是(3,5),F点的坐标是(2,7)，求A、B、C、G的坐标。解析：设A（x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.∴=。∴(x1-1，y1—2)=（2—3,7-5）=（-1,2).∴∴A（0，4)。同理可得B（2，0),C（4，10).连结AE，则AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2，y2-4)=2(3-x2，5-y2)，∴∴G(2，）.9。如右图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1，求：(1）｜F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当｜F1｜≤2｜G|时，θ角的取值范围.解析：（1）如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2。解直角三角形得｜F1|=,|F2｜=｜G|·tanθ，当θ从0°趋向于90°时，｜F1|、|F2|皆逐渐增大。（2）令|F1|==2|G｜，得cosθ≥,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°。10。在四边形ABCD中（A、B、C、D顺时针排列），=(6,1)，=（—2,-3)。若有∥，又有⊥,求的坐标。解析：设=（x，y)，则=（6+x，1+y），=(4+x，y—2),=（-x-4，2-y）,=（x—2,y—3)。又∥及⊥，∴x(2-y)—(-x-4）y=0，①(6+x）(x—2)+（1+y)(y—3)=0,②解得∴=（—6,3)或（2，—1）.综合运用11.已知=λ+μ,若M、P、N三点共线，则λ与μ的关系为（)A.λ—μ=0B。λ+μ=0C。λ—μ=1D.λ+μ=1解析：可根据教材中的例题解此题，也可据M、P、N三点共线推导λ与μ的关系。∵M、P、N三点共线，故存在实数k，使，∴—=k-k，即=k+（1-k)。又=λ+μ，∴∴λ+μ=1.答案：D12。若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于（）A.b+aB.b-aC。a+bD。a—b解析:=—=+—=+-=b—a.答案:B13。在水流速度为km/h的河水中，一艘船以12km/h的速度垂直对岸行驶,求这艘船实际航行速度的大小_______,方向_______.解析：如右图，设表示水流速度，表示船垂直对岸行驶的速度，以为一边、为一对角线作ABCD，则就是船实际航行的速度。∵||=，｜|=12，∴｜｜=｜｜=；tan∠ACB=，∠CAD=∠ACB=30°，∠BAD=120°.答案：km/h与水流速度方向的夹角为120°14。已知线段AB的长度为4,点M在线段AB上,若点P(P与AB不共线）满足=（+）且|｜=2，则与的夹角为___________。解析：∵=(+）,｜|=2，∴42=2+2·+2.①又｜—|=｜｜=4，∴2—2·+2=16。②由①②可知,·=0,故与的夹角为.答案:15.如右图，已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若++=0，求证：O是△ABC的重心.证明:如右图,由于++=0,∴=—（+），即+是的相反向量。以,为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中，设BC与OD交于E点,则=，=,∴AE是△ABC的中线,且｜｜=2｜|,故O是△ABC的重心.拓展探究16。美国不顾国际社会的强烈反对，于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截，实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为｜v|=10nkm/h。令ν=λ1e1+λ2e2，基底e1、e2是平面内的单位向量.若标