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3.6不确定性原理

设和为两个不对易的线性厄米算符。在的本征态中测量力学量，有确定值，在数值上等于在该态的平均值。现在问，在的本征态中测量另一力学量，会出现什么结果？进一步，如果在任一个既非又非的态中测量和，又会出现什么结果？

不确定性原理回答了这个问题。我们先来对这个原理做一般证明：构造积分（3.6.1）式中，是实参量，是任意波函数，之所以大于或等于零是因为被积函数不小于零。将（3.6.1）式的平方项展开，得式中算符满足，（3.6.2）是关于的二次式，不等与（3.6.2），成立的条件是（3.6.3）由于，厄米，上式可写为（3.6.2）

3.6不确定性原理（3.6.1）（3.6.4）式对任意两线性厄米算符，均成立。令显然，，也是线性厄米算符，它们的对易子满足（3.6.5）

3.6不确定性原理即（3.6.4）取算符，，由及（3.6.6）式得（3.6.6）由上两式可得

3.6不确定性原理（3.6.7）（3.6.7）式表明，和不能同时为零，而且坐标的方均偏差越小，动量的方均偏差越大，反之亦然。同理可得（3.6.8）（3.6.7）和（3.6.8）式称为不确定性原理。

3.6不确定性原理（3.6.9）

利用不确定性原理说明量子力学中的零点能。一维谐振子为例。它的平均能量是利用厄米多项式的性质可得（3.6.10）（3.6.11）由（3.6.12）及（3.6.9）式得（3.6.13）

3.6不确定性原理则这就是一维谐振子的零点能。（3.6.15）按不确定性原理，和不同时为零，因而

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