《概率论与数理统计》教案-第24课-区间估计、单正态总体均值与方差的区间估计

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课题区间估计、单正态总体均值与方差的区间估计课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：理解区间估计、置信区间的概念掌握对单个正态总体均值与方差的区间估计素质目标：（1）帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系（2）培养学生的辩证唯物主义观教学重难点教学重点：区间估计、置信区间、置信度的概念教学难点：对单个正态总体均值与方差的区间估计教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解区间估计及单正态总体均值与单方差的区间估计的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：什么是区间估计？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，讲解区间估计及单正态总体均值与方差的区间估计的相关知识第三节区间估计【教师】提出区间估计的概念由由参数的点估计可知，可以用样本的均值与方差来估计总体的均值与方差．在有些情况下，这种估计按照一定的判别标准（无偏性、有效性、一致性）是相当好的．但是有时对总体参数估计不满足于只是一个具体值，而是要估计总体参数落入某一区域，以及参数落入这一区域的概率．这样的区域通常用区间的形式给出，同时给出此区间包含参数真实值的概率，这种形式的估计称为区间估计．【教师】提出置信区间、置信下限、置信上限和置信度的定义定义1设总体X的分布函数是，其中是未知参数．给定，若由样本确定的两个统计量和满足，则称随机区间是参数的置信度为的置信区间．其中和称为置信度为的双侧置信区间的置信下限和置信上限，称为置信度．是事前给定的一个比较小的正数，它是指参数估计不准的概率，即参数未被区间涵盖的概率，一般取或．例如，设参数满足条件，则参数的置信度为96%的置信区间为，其中置信下限，置信上限．对于给定的置信度，根据样本来确定未知参数的置信区间，称为参数的区间估计．求未知参数的置信区间的一般步骤如下：（1）先选择一个合适的估计方法对总体的未知参数做出估计，由此估计量出发，构造样本的函数U，要求U的分布已知，且含有待估参数，但不含其他未知参数．（2）对于给定的置信度，找到两个常数，使（当U为连续型随机变量时，一般取b为U的分位数，取a为U的分位数）．（3）把不等式“”变形，使得，则区间就是的一个置信度为的置信区间．第四节正态总体均值与方差的区间估计由于服从正态分布的总体广泛存在，而且很多统计量的极限分布是正态分布，因此，下面专门介绍正态总体中的参数和的区间估计．一、单正态总体均值与方差的区间估计设总体，是正态总体X的样本．1．正态总体均值的区间估计（1）已知时的置信区间根据第六章统计量的抽样分布定理知．因方差已知，于是，对给定置信度必存在，使，将上式括号内的不等式作等价变换得，即得的置信区间．（7-6）【教师】通过例题，介绍已知时的置信区间的求法例1现随机地从一批服从正态分布的零件中抽取16个，分别测其长度（单位：cm）如下：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11．估计该批零件的平均长度，并求的置信度为95%的置信区间．……（解析详见教材）（2）未知时的置信区间由于方差未知，所以不能再像方差已知一样，用U的分布导出的区间估计．根据第六章统计量的抽样分布定理知．于是，利用T的分布可导出方差未知时正态总体的区间估计，给定置信度，则必存在，使．对上式作等价变换得．因此，的置信区间为．（7-7）【教师】通过例题，介绍未知时的置信区间的求法例2从一批零件中抽取16个零件，测得它们的直径（单位：mm）如下：12.15，12.12，12.01，12.08，12.09，12.16，12.03，12.01，12.06，12.13，12.07，12.11，12.08，12.01，12.03，12.06．设这批零件的直径服从正态分布．求零件直径的均值对应于置信度为0.95的置信区间．……（解析详见教材）2．正态总体方差的区间估计（1）已知时方差的区间估计设是总体的样本，由于，因此．根据分布的定义，有．因期望已知，于是，给定置信度，可在分布表中查得自由度为n的上侧分位点及，使和．于是有．将上式作等价变换得．因此，正态分布总体在期望已知时方差的置信度为的置信区间为．（7-8）标准差的置信度为的置信区间为．（7-9）【教师】通过例题，介绍已知时方差的置信区间的求法例3一批钢筋的20个样品的屈服点（单位：）为4.98，5.11，5.20，5.11，5.00，5.35，5.61，4.88，5.27，5.38，5.46，5.27，5.23，4.96，5.15，4.77，5.35，5.38，5.54，5.20．设屈服点服从正态分布，求屈服点总体方差及标准差的置信度为95%的置信区间．……（解析详见教材）（2）未知时方差的区间估计在未知的情况下，可以用X作为的估计量，并用代替，根据第六章统计量的抽样分布定理知．同已知一样，给定置信度，可在分布表中查得自由度为的上侧分位点及，使和．于是有．将上式作等价变换得．因此，正态总体在未知时方差的置信度为的置信区间为．（7-10）标准差的置信度为的置信区间为．（7-11）【教师】通过例题，介绍未知时方差的置信区间的求法例4从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：14.6，15.0，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8．若滚珠直径服从正态分布且未知，求滚珠直径方差的置信度为95%的置信区间．……（证明详见教材）【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题1．设在正常条件下，某种机床加工的小孔孔径（单位：cm），．现测得10个小孔孔径的平均值为1.416，试求均值的置信度为0.95的置信区间．2．设有一批某厂生产的鸡精，每袋净重（单位：g）．现任取8袋测得净重为12.1，11.9，12.4，12.3，11.9，12.1，12.4，12.1．试