人教版 九年级 数学 下册 第二十七章《位似》教学课件

27.3位似第二十七章相似逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2位似图形的定义位似图形的性质位似图形的画法平面直角坐标系中的位似变换知识点位似图形的定义知1－讲1位似图形与位似中心如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心位似多边形对于两个多边形,如果它们的对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形知1－讲续表位似多边形如图①，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形；如图②，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以点A(A′)为位似中心的位似图形；如图③，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是以点O为位似中心的位似图形知1－讲续表位似与相似的区别与联系(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例;(2)位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位似图形,那么这两个图形一定是相似图形,但相似的两个图形不一定是位似图形知1－讲特别提醒1.两个位似图形的位似中心有且只有一个.2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处(如图27.3－1所示).知1－练例1判断如图27.3－2所示的各图中的两个图形是不是位似图形，如果是，请指出其位似中心.知1－练解题秘方：紧扣“位似图形的定义”进行判断，关键看对应点的连线是否交于一点.解：(1)是位似图形，位似中心为点A.(2)不是位似图形.(3)是位似图形，位似中心为点O.知1－练1－1.如图是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是()A.对称

B.平移C.旋转

D.位似D知2－讲知识点位似图形的性质2性质1位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比性质2位似图形上任意一组对应点的连线都经过位似

中心性质3位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上性质4位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质知2－讲续表示例知2－讲特别解读利用位似图形的性质可解决：1.多边形的放大或缩小；2.确定位似中心；3.求周长或面积.知2－练找出如图27.3－3所示的位似图形的位似中心.例2解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线都经过位似中心”进行查找.解：如图27.3－3，点P1，P2，P3即为所求的位似中心.知2－练2－1.如图，正方形网格图中的△ABC

与△A′B′C是位似关

系，则位似中心是(

)A.点D

B.点EC.点F

D.点GA知2－练如图27.3－4，△ABC

与△A

′B′C′关于点O位似，AO＝3，A′O＝6.解题秘方：紧扣位似图形相似比的性质进行计算.例3知2－练(1)若AC＝5，求A′C′的长；

知2－练(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.

知2－练3－1.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为()A.2B.8C.16D.24C知2－练3－2.[中考·长春]如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA∶AA′＝1∶2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为_______.1∶3知3－讲知识点位似图形的画法31.位似变换:利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小叫做位似变换.知3－讲2.位似图形的画法知3－讲特别提醒以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.知3－练如图27.3－5，已知四边形ABCD，将四边形ABCD放大，使放大后的图形与原图形是位似图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为2∶1.例4解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图(画法不唯一).知3－练解：(画法不唯一)根据位似中心的不同位置情况进行作图.画法一：位似中心在四边形的顶点上，如图27.3－6，以点A为位似中心，四边形AB1C1D1就是所求作的图形.知3－练画法二：位似中心在四边形的边上，如图27.3－7，以AD边上一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形.知3－练4－1.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O

和点A1在格点上，△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上).(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A，B，C

的对应点分别为点A1，B1，C1；(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为_______.解：如图，△A1B1C1即为所求．3∶1知4－讲1.位似变换时对应点的坐标的变化规律一般地,在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).知识点平面直角坐标系中的位似变换4知4－讲

知4－讲2.位似变换与平移、轴对称、中心对称三种变换的异同：变换方式点P(x，y)的坐标变化规律平移当点P向左平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x－a，y)当点P向右平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x＋a，y)当点P向上平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，y＋a)当点P向下平移a(a>0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，y－a)知4－讲续表轴对称当点P

关于x

轴对称时，点P

的坐标变为(x，－y)当点P

关于y

轴对称时，点P

的坐标变为(－x，y)中心对称当点P

关于原点对称时，点P

的坐标变为(－x，－y)知4－讲续表位似变换当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P

与其对应点在原点同侧时，点P

的坐标变为(kx，ky)当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P

与其对应点在原点异侧时，点P

的坐标变为(－kx，－ky)知4－讲特别提醒1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似图形与原图形的相似比为k，那么当位似图形与原图形在原点的同侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)；当位似图形与原图形在原点的两侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(-kx，-ky).2.当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当0<k<1时，图形缩小为原来的k.知4－练如图27.3－9，已知O

是坐标原点，B，C

两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1).解题秘方：根据位似中心及相似比作图，再利用位似变换时对应点的坐标的变化规律求对应点的坐标.例5知4－练(1)画出以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2)的位似图形△OB′C′；解：如图27.3－9，延长BO到点B′，使OB′＝2OB；延长CO到点C′，使OC′＝2OC，连接B′C′，则△OB′C′就是要画的图形.知4－练(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M的对应点M′的坐标.解：点B′，C′的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2).点M(x，y)的对应点M′的坐标为(－2x，－2y).知4－练方法点拨：位似变换作图的思路有两种：一种是先求出变换后对应点的坐标，再描点画图；另一种是先根据对应边的比画出位似变换后的图形，再确定对应点的坐标.知4－练5－1.[模拟·芜湖]如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，2)，C(1，3).知4－练(1)将△ABC绕点O

按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；解：如图，△A1B1C1即为所作．知4－练(2)以点O为位似中心，在y

轴右侧，将△ABC放大为原来的2倍得到△DEF，画出△DEF；(3)经过(2)的变换后，若在△

ABC

内有一点P(a，b)，则点P

放大后的对应点的坐标是________.解：如图，△DEF即为所作．(2a，2b)位似位似图形定义性质画法坐标规律题型网格中的位似变换1如图27.3－10，在边长为1的正方形网格纸中，△ABC为格点三角形(顶点都在格点上).例6思路引导：(1)求△ABC的面积；

思路引导：

解：△ABC的位似图形如图27.3－10中的△A′B′C′和△A″B″C″.技巧点拨画位似图形的技巧：1.对应点可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的异侧，所以一个图形按照给定的相似比可以画出它的两个位似图形.2.在网格中画位似图形时，可采用数格的方法确定关键点的位置.3.在坐标系内画位似图形时，可计算对应点的坐标确定关键点的位置.题型位似中心是坐标原点的位似变换2如图27.3－11，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5).例7(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；解题秘方：利用关于x

轴对称的点的特征得出对应点的位置即可；解：如图27.3－11所示，△A1B1C1即为所求.(2)以点O为位似中心，在y轴右侧，将△ABC放大得到△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1.请在图中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标.解题秘方：利用位似图形的性质得出对应点的坐标，进而得出答案.解：如图27.3－11所示，△A2B2C2即为所求.B2(10，8).方法点拨以原点为位似中心进行位似变换时，一定要注意横、纵坐标符号的变化，即如果两图形在原点同侧，符号相同；如果两图形在原点异侧，符号相反.题型位似中心不是坐标原点的位似变换3[期末·长春绿园区]如图27.3－12，△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，且△A′B′C和△ABC的面积之比为1∶4，点C的坐标为(1，0)，若点A的对应点A′的横坐标为－2，则点A的横坐标为______.例87解题秘方：作出辅助线，根据相似三角形的判定和性质求出所求点的坐标.

知识拓展位似图形中坐标的变化规律：将一个图形按照一定的相似比(k)放大或缩小，设位似中心的坐标为(a，b)，如果图形中某个点的坐标为A(m，n)，那么变换后对应点A′的横坐标为k(m－a)＋a或k(a－m)＋a，纵坐标为k(n－b)＋b或k(b－n)＋b.题型位似变换的应用4如图27.3－13，△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的边DE落在BC上，顶点F，G分别落在AC，AB上.例9解题秘方：根据位似图形的作法，紧扣“位似图形的定义和性质”说明理由.证明：∵四边形DEFG

为正方形，∴

GD＝FE，∠

GDE

＝

∠

FED＝90°.∴∠

GDB＝

∠

FEC＝90°.∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

B

＝

∠

C＝60°.∴△

BDG

≌△

CEF.(1)求证：△BDG≌△CEF.(2)探究：怎样在铁片上准确地画出正方形DEFG

？小聪和小明各给出了一种想法，请你在(a)和(b)两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.(a)小聪想：只要能计算出正方形的边长就能求出BD

和CE的长，从而确定D

点和E

点，再画正方形DEFG

就容易了.设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示).(b)小明想：不求正方形的边长也能画出正方形DEFG.具体作法如图27.3－13所示：①在AB边上任取一点G′，作正方形G′D′E′F′(点D′，E′在BC边上)；②连接BF′并延长,交AC于点F；③作FE∥F′E′，交BC

于点E，FG∥F′G′，交AB

于点G，GD∥G′D′，交BC于点D，则四边形DEFG

即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

解法提醒1.位似图形的应用：利用位似解决实际问题，关键是先将实际问题转化为数学问题，把实物图转化为几何图形，再结合位似图形的性质解决问题.2.利用位似可以将一个图形放大或缩小，在一些作图问题中，可以利用位似的知识作出题目要求的图形.

例10易错点未分类讨论位似图形与位似中心的位置而出错错解：C正解：△CDO与△ABO可以在位似中心的同侧或异侧，∴点C的坐标可以为(－1，2)或(1，－2).答案：D诊误区：当位似图形的位置不明确时，要考虑两种情况:与原图形位于位似中心的同侧和异侧.[中考·阜新]如图27.3－14，△ABC和△DEF是以点O

为位似中心的位似图形，相似比为2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是_______.4∶9考法利用位似图形的性质求面积比1例11试题评析：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系是解题的关键.解：∵

△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴

△ABC∽△DEF.又∵

△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴

△ABC与△DEF的面积之比为22∶32＝4∶9.[中考·浙江]如图27.3－15，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(

)A.(－4，8)B.(8，－4)C.(－8，4)D.(4，－8)考法利用位似变换的性质求坐标系中点的坐标2例12试题评析：此题主要考查了位似变换的点的坐标的变化规律，由已知点的坐标得出相似比是解题的关键.解：∵

△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，∴△ABC与△A′B′C′的相

似比为1∶2，且在原点O的同侧.∵点B的坐标为(－2，4)，∴

点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)，即(－4，8).答案：A[中考·凉山州]如图27.3－16，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).考法利用图形变换的特点在坐标系中作图计算3例13试题评析：本题考查了位似变换、轴对称变换的知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义.解：如图27.3－16，△A1B1C1就是所求作的三角形.(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)以原点O为位似中心，在x

轴上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，求出△A2B2C2的面积.

1.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是(

)A.△DEF

B.△DFHC.△GEH

D.△GDJC2.如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长扩大为原来的2倍得到△A′B′C′，下列说法中，错误的是(

)A.AO∶AA′＝1∶2B.AC∥A′C′C.S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4D.A，O，A′三点在同一条直线上A3.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB

与△OCD的相似比是()A.2∶1 B.1∶2C.3∶1 D.1∶3D

D5.[中考·朝阳]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是(

)A.(1，1)B.(4，4)或(8，2)C.(4，4)D.(4，4)或(－4，－4)D6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC

的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2)，若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC

面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为________.(4，6)7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知A(2，0)，C(a，b)，则点C′的坐标为____________(结果用含a，b的式子表示).(6－2a，－2b)8.[中考·巴中]△ABC在边长为1的正方形网格中，如图所示.(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使△ABC与△A