人教版 九年级 数学 下册 第二十六章《实际问题与反比例函数》教学课件

26.2实际问题与反比例函数第二十六章反比例函数逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2建立反比例函数模型解实际问题知识点建立反比例函数模型解实际问题知1－讲11.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题．知1－讲运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数解析式，再根据题目条件确定函数解析式中的待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的解析式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.知1－讲2.用反比例函数解决实际问题的步骤知1－讲特别提醒利用反比例函数解决实际问题时应注意：1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量的关系；2.结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围；3.要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质.知1－练例1某地区上一年度每度电的价格为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调到0.55元~0.75元之间(不包括端点值).经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例，且当x＝0.65时，y＝0.8.解题秘方：紧扣反比例关系，用待定系数法设函数解析式求解.知1－练(1)求y与x之间的函数解析式；

知1－练(2)若每度电的成本价为0.3元，当电价调至0.72元时，本年度电力部门的收益是多少元？

知1－练1-1.小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系图象如图所示．知1－练(1)求y与x之间的反比例函数解析式；知1－练(2)小明在8：20开始录入，完成录入的时间为8：40，求小明每分钟录入的字数.知1－练某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12h可以完成.例2解题秘方：紧扣工程问题中“工作总量、工作时间与工作效率”之间的关系列式，变形即可求出函数解析式.知1－练(1)设每小时加工x个零件，所需时间为yh，写出y关于x的函数解析式；

知1－练(2)若要在一个工作日(8h)完成，则每小时要比原来多加工几个零件？

知1－练2-1.一项工程中，某工程队工人每天需要挖掘20t土的深沟，整个工程完成恰好用了6天．(1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：t/天)与回填天数t之间有怎样的函数关系？知1－练知1－练(2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完成，那么平均每天至少要回填多少吨土？知1－练例3[中考·杭州]方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480km，设小汽车的行驶时间为t(单位：h)，行驶速度为v(单位：km/h)，且全程速度限定为不超过120km/h.知1－练(1)求v关于t的函数解析式.

思路引导：知1－练(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.思路引导：知1－练

知1－练②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.思路引导：知1－练

知1－练3-1.某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为th，平均速度为vkm/h(汽车行驶速度不超过110km/h).根据经验，v，t的部分对应值如表：v/(km/h)758090t/h4.804.504.00知1－练(1)根据表中的数据，求出平均速度v(km/h)关于行驶时间t(h)的反比例函数解析式(不用写自变量t的取值范围).知1－练(2)汽车上午6：00出发，能否在上午9：00之前到达邻市市场？请说明理由．知1－练某商场出售一批进价为2元/张的贺卡，在市场销售中发现，此贺卡的日销售单价x(单位：元/张)与日销售量y(单位：张)之间有如下关系：例4日销售单价x/(元/张)3456日销售量y/张20151210知1－练思路引导：知1－练(1)确定y与x之间的函数解析式；

知1－练(2)设销售此贺卡的日销售利润为w元，试求w与x之间的函数解析式.若物价局规定该贺卡售价每张最高不超过10元，请你求出当日销售单价定为每张多少元时，才能获得最大日销售利润.知1－练

知1－练4-1.[期末·佛山顺德区]某商场销售一批运动鞋，每双进价为120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表：销售价格x/(元/双)250300销售数量y/双2420知1－练(1)求出符合表格数据的解析式.知1－练(2)若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为每双多少元？知1－练例5[期末·杭州上城区]某学校准备修建一个面积为100m2的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为xm，相邻的另一边长为y

m．知1－练(1)求y关于x的函数解析式；

解题秘方：紧扣“矩形面积＝长×宽”的关系列式，变形即可求出函数解析式；知1－练(2)若矩形的一边长x满足x＞50，求另一边长y的取值范围；

解题秘方：利用“k>0时，反比例函数的增减性性质”求解；知1－练(3)杭杭在实践后得到如下结论：在面积为100m2的情况下，不存在周长为30m的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由．解题秘方：根据条件构造一元二次方程，利用根的判别式求解.知1－练

知1－练5-1.[中考·广州]某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图所示．知1－练(1)求储存室的容积V的值；知1－练(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．知1－练某闭合电路中，其电压恒定，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数关系，其图象如图26.2-1所示，根据图象回答下列问题.例6知1－练思路引导：知1－练(1)写出电流I与电阻R之间的函数解析式.

知1－练(2)如果一个用电器的电阻为5Ω，其允许通过的最大电流是1A，那么这个用电器接在这个闭合电路中，会不会被烧毁？请说明理由.知1－练

知1－练(3)若允许通过的电流不超过4A，那么电阻的取值应该控制在什么范围？

知1－练6-1.[月考·银川兴庆区]已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．知1－练(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R之间的函数解析式；知1－练(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在7.2A～8A的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．知1－练知1－练例7[模拟·泰州兴化市]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．即杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂.几位同学玩撬石头游戏，已知阻力(石头重量)和阻力臂分别为800N和1m，设动力臂为l，动力为F.知1－练思路引导：知1－练(1)求动力F与动力臂l的函数解析式.

知1－练(2)若小明只有200N的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块石头？

知1－练(3)现有动力臂为2.5m的撬棍，若想撬动石头，写出动力F满足的条件．

知1－练7-1.“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.已知阻力F1(N)和阻力臂L1(m)的函数图象如图，若小明想用不超过150N的动力F2撬动这块大石头，则动力臂L2(m)需满足的条件是()A.L2>4 B.0<L2≤4 C.L2

≥4 D.L2<4C知1－练如图26.2-2①，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系).例8桌面所受压强p/Pa100200400500800受力面积S/m2210.50.4a知1－练思路引导：知1－练(1)根据表中数据，求桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数解析式以及a的值.

知1－练(2)现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体A相同重量的长方体按如图26.2-2②所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为9000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．知1－练解：这种摆放方式不安全．理由如下：由题图可知S＝0.1×0.2＝0.02(m2)，∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，p＝200÷0.02＝10000(Pa).∵10000＞9000，∴这种摆放方式不安全．知1－练8-1.[中考·宁夏]给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.知1－练

知1－练知1－练(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.解：由于车辆超载，轮胎体积变小，轮胎内气压增大导致爆胎．(答案不唯一，合理即可)知1－练例9由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力F所做的功为W＝Fs.当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图26.2-3所示．知1－练(1)试确定F，s之间的函数解析式．

解题秘方：紧扣公式“W＝Fs”的关系列式，变形得出解析式；知1－练(2)当力F为30N时，发生位移多少米？

解题秘方：代入F＝30N求值即可．知1－练9-1.在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率P(W)与做功所用的时间t(s)成反比例函数关系，图象如图所示，当t＝50s时，P＝________W.1200实际问题与反比例函数实际问题与反比例函数步骤：审、设、列、写、解常见类型生活问题工程问题行程问题销售问题跨学科问题题型建立单一的反比例函数模型解决问题1山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史.厨师将一定质量的面团做成面条时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积x(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4，32)，B(a，80)两点(如图26.2-4).例10解题秘方：利用函数图象上点的坐标求出函数解析式，再利用反比例函数的知识解决问题.(1)求y与x之间的函数解析式；

(2)求a的值，并解释它的实际意义.

方法点拨建立反比例函数模型，列出符合题意的函数解析式，然后根据反比例函数的性质等知识来解决问题，要注意自变量的取值范围.题型建立反比例函数和一次函数模型解决问题2[模拟·厦门]某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源的年销售量y(单位：万件)随销售价格x(单位：元/件)变化的大致图象(图象由部分双曲线AB与线段BC组成)，如图26.2-5所示．例11(1)求双曲线AB的函数解析式；解题秘方：用待定系数法求双曲线AB的函数解析式；

(2)已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由．解题秘方：分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比较即可得到结论．

解法提醒反比例函数与其他函数的综合往往涉及求函数解析式、交点坐标等问题，在解决此类问题时，要注意以下两点：1.对于特殊的点，如两个函数图象的交点、函数图象与坐标轴的交点等，通常需要先求出交点的坐标；2.反比例函数与一次函数相结合的问题，通常要先求出反比例函数的解析式，然后利用其解析式求出特殊点的坐标，进而求出一次函数的解析式，再利用它们的性质解决相关问题.题型反比例函数应用的探究性问题3

例12(1)若L过点T1，则k＝______；

解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴易得T1(－16，1)，T2(－14，2)，T3(－12，3)，T4(－10，4)，T5(－8，5)，T6(－6，6)，T7(－4，7)，T8(－2，8).∵L过点T1，∴k＝－16×1＝－16.－16(2)若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝______；解题秘方：观察发现，在反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积相等，即可确定另一点；

5(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有_______个.解题秘方：先分别求出T1~T8的横纵坐标积，让这8个点位于曲线两侧，即可确定k的取值范围.7解：∵T1~T8的横纵坐标的积分别为－16，－28，－36，－40，－40，－36，－28，－16，∴要使这8个点分布在曲线L的两侧，且每侧各4个点，则k必须满足－36<k<－28.∴k可取的整数值有－35，－34，－33，－32，－31，－30，－29，共7个.解题通法第一步：分析函数图象，建立反比例函数模型；第二步：分析反比例函数图象与实际问题之间的关系，一般与“k”相关；第三步：利用反比例函数的图象与性质求解．易错点忽视自变量的取值范围导致函数图象出错已知矩形相邻两边的长分别为x，y，面积为8，则y

与x之间的函数关系用图象大致可以表示为图26.2-7中的(

)例13答案：B

诊误区：用反比例函数解决实际问题时，一定要考虑自变量的取值范围，且使实际问题有意义.[中考·宜昌]某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求相邻两边长均不小于5m，则草坪的一边长y(单位：m)随其邻边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是图26.2-8中的()考法实际问题中反比例函数图象的识别1例14试题评析：本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定x的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键.

答案：C[中考·吉林]已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图26.2-9所示．考法反比例函数的跨学科应用2例15试题评析：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式.

(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)；

(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．[中考·枣庄]为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．考法建立反比例函数与一次函数模型解决实际问题3例16整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图26.2-10所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)满足下面表格中的关系：时间x/天3569…硫化物的浓度y/(mg/L)4.52.72.251.5…试题评析：本题考查了求一次函数、反比例函数解析式及反比例函数的性质等知识，解题的关键是掌握反比例函数解析式的求法及其性质.

(1)求在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数解析式.

(2)求在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数解析式.

(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？1.已知压力F(N)，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下的关系式：F＝pS.当F为定值时，则可以大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是()D2.[模拟·杭州]某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁C3.[中考·河北]节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是()A.若x＝5，则y＝100B.若y＝125，则x＝4C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍C4.[中考·武汉]某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F的数据如下表(动力×动力臂＝阻力×阻力臂).动力臂L/m0.51.01.52.02.5动力F/N600300200a120请根据表中的数据规律探求，当动力臂L的长度为2.0m时，所需动力最接近()A.300N B.180NC.150N D.120NC5.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间的函数关系如图所示.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为()A.4小时 B.6小时C.8小时 D.10小时B6.如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知当一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝________m/s．47.[中考·南通]某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶的速度为30m/s，则所受阻力F为_______N．25008.[中考·温州]在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V

的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了_______mL．209.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系.当R＝4Ω时，I＝9A